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Häufig ist es der Zusammenhang zwischen Variablen interessant. Um das geeignete Maß zu finden ist das Messniveau von Bedeutung. Bei metrischen Variablen können Korrelationen oder Streudiagramme als erstes Maß in Betracht gezogen werden. Hingegen stellt für diskrete oder klassierte Merkmale die Kontingenztabelle (auch „Kreuztabelle“genannnt) eine Darstellungsform für den Zusammehang zweier simultan beobachteter Merkmale dar. Mit Hilfe von Kontingenztabellen können auch Tests auf den Zusammenhang zwischen den beiden Variablen durchgeführt werden. Im Folgenden sollen vor allem Abhängigkeiten zwischen zwei diskreten Merkmalen getestet werden.
Wie bei dem Kapitel der Linearen Regression werden Skripte in allen vier Statistikprogrammen bereit gestellt. Diese sind auf der rechten Seite zu finden.
Inhaltsverzeichnis
Inhalt | ||||
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Kontingenztabellen
Kontingenztabellen stellen Ausprägungen zweier Merkmale dar:
X hat die Ausprägungen \(x_1\) bis \(x_M\) und Y die Ausprägungen \(y_1\) bis \(y_L\). Für \(i= 1 ... M\) und \(j= 1 ... L\): \(n_{ijl}\) entspricht der Häufigkeit \((X=x_i ; Y=y_j)\). Die Zeilen enthalten L gemeinsame absolute Häufigkeiten oder anders gesagt absolute Häufikeiten von Y bedingt durch Ausprägungen von \(X=x_i\), z.B. die Elemente \(n_{m1}\) bis \(n_{mL}\) sind absolute Häufigkeiten von Ausprägungen von Y unter der Bedingung, dass \(X=x_m\). Am Ende dieser Zeile steht die entsprechende Randhäufigkeit \(n_{m•}\) von X. Um bedingte relative Häufigkeiten von Y zu bekommen, dividiert man die Elemente \(n_{m1}\) bis \(n_{mL}\) durch die Randhäufigkeit \(n_{m•}\). Analog enthält jede Spalte M gemeinsame Häufigkeiten oder absolute Häufikeiten von X bedingt durch Ausprägungen von \(Y=y_j\).
Im Kontext des Datenbeispiels wäre interessant zu untersuchen, ob sich die Erwerbstätigkeit zwischen Frauen und Männern unterscheidet. Eine mögliche Betrachtung dieser Frage ermöglicht die folgende Kontingenztabelle für die Variablen BERUFSTAETIG und GESCHL:
Anker | ||||
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MAENNLICH | WEIBLICH | \(\sum\) | |
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HAUPTBERUFL.GANZTAGS | 1026 | 545 | 1571 |
HAUPTBERUFL.HALBTAGS | 41 | 309 | 350 |
NEBENHER BERUFSTAE. | 73 | 135 | 208 |
NICHT ERWERBSTAETIG | 619 | 720 | 1339 |
\(\sum_{}^{}\) | 1759 | 1709 | 3468 |
Aus der Kontingenztabelle ist z.B. abzulesen:
- 41 Männer sind hauptberuflich halbtags erwerbstätig (BERUFSTAETIG = 2 ,GESCHL = 1)
- 545 Frauen sind hauptberuflich ganztags erwerbstätig (BERUFSTAETIG = 1, GESCHL = 2)
Die Werte in der letzten Spalte stellen die Randverteilung von BERUFSTAETIG dar und die letzte Zeile die Randverteilung von GESCHL. Die Frage zur Erwerbstätigkeit wurde von 1759 Männern und 1709 Frauen beantwortet.
Die obige Kontingenztabelle enthält absolute Häufigkeiten. Es lassen sich auch relative Häufigkeiten in einer Kontingenztabelle darstellen. Dafür werden alle absoluten Häufigkeiten durch die Gesamtanzahl an Beobachtungen geteilt.
MAENNLICH | WEIBLICH | \(\sum\) | |
---|---|---|---|
HAUPTBERUFL.GANZTAGS | 0.296 | 0.157 | 0.453 |
HAUPTBERUFL.HALBTAGS | 0.012 | 0.089 | 0.101 |
NEBENHER BERUFSTAE. | 0.021 | 0.039 | 0.060 |
NICHT ERWERBSTAETIG | 0.178 | 0.208 | 0.386 |
\(\sum_{}^{}\) | 0.507 | 0.493 | 1.000 |
Auch Kontingenztabellen mit sog. bedingten relativen Häufigkeiten in den Zeilen oder Spalten können hilfreich sein. Bedingte relative Häufigkeiten lassen sich zeilen- oder spaltenweise ausrechnen.
Bezogen auf die Spalten werden die gemeinsamen Ausprägungen in Relation zur Gesamtanzahl von Frauen und Männern gesetzt.
MAENNLICH | WEIBLICH | |
---|---|---|
HAUPTBERUFL.GANZTAGS | 0.583 | 0.318 |
HAUPTBERUFL.HALBTAGS | 0.023 | 0.181 |
NEBENHER BERUFSTAE. | 0.042 | 0.079 |
NICHT ERWERBSTAETIG | 0.352 | 0.421 |
\(\sum_{}^{}\) | 1.000 | 1.000 |
Innerhalb der Teilstichprobe von Männern (1759 Beobachtungen) sind \(\frac{1026}{1759} \approx 0.583\) hauptberuflich ganztags erwerbstätig, während \(\frac{41}{1759} \approx 0.023\) hauptberuflich halbtags erwerbstätig, \(\frac{73}{1759} \approx 0.042\) nebenher erwerbstätig und \(\frac{619}{1759} \approx 0.352\) nicht erwerbstätig sind.
Bezogen auf die Zeilen werden die gemeinsamen Ausprägungen in Relation zur Gesamtzahl in den unterschiedlichen Formen von Erwerbstätigkeit gesetzt.
MAENNLICH | WEIBLICH | \(\sum\) | |
---|---|---|---|
HAUPTBERUFL.GANZTAGS | 0.653 | 0.347 | 1.000 |
HAUPTBERUFL.HALBTAGS | 0.117 | 0.883 | 1.000 |
NEBENHER BERUFSTAE. | 0.351 | 0.649 | 1.000 |
NICHT ERWERBSTAETIG | 0.462 | 0.538 | 1.000 |
Insgesamt sind 1339 Personen in der Stichprobe nicht erwerbstätig, nämlich 619 Männer und 720 Frauen. Die relativen Häufigkeiten unter der Bedingung von keiner Erberbstätigkeit sind \(\frac{619}{1339} \approx 0.462\) und \(\frac{720}{1339} \approx 0.538\), d.h. 46.23% der nicht erwerbstätigen Befragten sind männlich.
Anhänge | ||||
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Tests auf Unabhängigkeit
Ganz allgemein kann man mit Hilfe von bedingten Häufigkeiten feststellen, ob man von einem fehlenden Zusammenhang zwischen zwei kategoriellen Merkmalen sprechen kann, d.h. von Unabhängigkeit der Merkmale. Intuitiv sind Merkmale dann unabhängig, wenn Ausprägungen von X keinen Einfluss auf Ausprägungen von Y haben und umgekehrt. Daraus folgt, dass die absoluten bedingten Häufigkeiten von Y unter der Bedingung \(X=x_i\) nicht davon abhängen, welche Ausprägung \(x_1\), \(x_2\) ... \(x_M\) gewählt wird. Dann sollten die relativen bedingten Häufigkeiten $$\frac{n_{m1}}{n_{m•}} = \frac{n_{m2}}{n_{m•}} = ... = \frac{n_{mL}}{n_{m•}}$$
identisch sein. Auch stimmt dann der Quotient aller Zähler und aller Nenner überein: \(\frac{n_{ij}}{n_{i•}} = \frac{n_{•j}}{n}\)
Einer der bekanntesten Tests unter den Hypothesentests ist der Chi-Quadrat-Test. Genauer genommen ist der Chi-Quadrat-Test eine Gruppe von Tests, deren Prüfgröße \(\chi^2\) verteilt ist. Der Chi-Quadrat-Test kann als Verteilungstest, Homogenitätstest und Unabhängigkeitstest fungieren. Hier soll jedoch im Folgenden nur der Unabhängigkeitstest beschrieben werden. Ebenso wird der Exakte Fisher-Test vorgestellt, der im Vergleich zum Chi-Quadrat-Test jedoch keine Anforderungen an den Stichprobenumfang stellt.
Chi-Quadrat-Test
Der Chi-Quadrat-Test als Unabhängigkeitstests prüft stochastische Unabhängigkeit zwischen zwei diskreten Zufallsvariablen X und Y. Dies führt zu folgender Nullhypothese und Alternative:
- H0: X und Y sind stochastisch unabhängig
- H1: X und Y sind stochastisch abhängig
Die Prüfgröße für den Chi-Quadrat-Unabhängigkeits-Test beruht auf dem Vergleich von erwarteten Häufigkeiten mit tatsächlich beobachteten Häufigkeiten. Wenn die erwarteten Häufigkeiten nicht zu sehr von den beobachteten Häufigkeiten abweichen, spricht man von Unabhängigkeit. Im Folgenden sollen zunächst die erwarteten Häufigkeiten für das Datenbeispiel berechnet werden: \(\tilde{n_{ij}} = \frac{n_{•j} n_{i•}}{n}\), d.h. zum Beispiel \(\frac{1571·1759}{3468} = 796.825\) für die Zelle männlich und hauptberuflich ganztags erwerbstätig.
MAENNLICH | WEIBLICH | \(\sum\) | |
---|---|---|---|
HAUPTBERUFL.GANZTAGS | 796.83 | 774.18 | 1571 |
HAUPTBERUFL.HALBTAGS | 177.52 | 172.48 | 350 |
NEBENHER BERUFSTAE. | 105.50 | 102.50 | 208 |
NICHT ERWERBSTAETIG | 679.15 | 659.85 | 1339 |
\(\sum\) | 1759 | 1709 | 3468 |
Um erwartete und beobachtete Häufigkeiten zu vergleichen, können Differenzen zwischen den beiden Häufigkeiten in Betracht gezogen werden. Diese können jedoch sowohl positiv als auch negativ sein. Daher werden quadrierte Differenzen für die Prüfgröße des Unabhängigkeitstests genutzt. Es werden alle Terme \(\frac{(n_{ij}-\tilde{n_{ij}})^{2}}{\tilde{n_{ij}}}\) summiert. In einer Kontingenztabelle mit i Zeilen kann man zuerst diese Terme in jeder Zeile summieren und dann die Summe von Zeilensummen bilden. $$\chi^{2} = \sum_{i=1}^{M} \sum_{j=1}^{L} \frac{(n_{ij} - \tilde{n_{ij}})^{2}}{\tilde{n_{ij}}}$$
Dieser \(\chi^2\)-Koeffizient ist die Prüfgröße für den Chi-Quadrat-Unabhängigkeits-Test und ist unter der Nullhypothese asymptotisch \(\chi^2\)-verteilt mit (M-1)·(L-1) Freiheitsgraden. Je größe der \(\chi^2\)-Koeffizient ist, desto eher trifft die alternative Hypothese zu. Der Ablehnungsbereich des Tests zum Niveau \(\alpha\) ist rechts von einem Schwellenwert \(\chi^2_{(M-1)(L-1),1 - \alpha}\). Im Datenbeispiel wird die Prüfgröße wie folgt berechnet: $$\chi^{2} = \frac{(1026-796.83)^{2}}{796.83} + \frac{(41-177.52)^{2}}{177.52} + ... + \frac{(720-659.85)^{2}}{659.85}= 377.94$$
Der Wert der Prüfgroße, 377.94, mit den Schwellenwerten \(\chi^2_{3, 0.95} = 7.81\) auf dem 5% Signifikanzniveau und \(\chi^2_{3, 0.99} = 11.34\) auf dem 1% Signifikanzniveau verglichen. Sowohl für \(\alpha)\ von 5%, als auch von 1% wird die Nullhypothese abgelehnt. Daraus kann geschlossen werden: "Zwischen Erwerbstätigkeit und Geschlecht der befragten Personen besteht ein Zusammenhang".
Damit die Prüfgröße als annähernd \(\chi^2\)-verteilt angenommen werden kann, müssen Voraussetzungen an die erwarteten Häufigkeiten gegeben sein. Alle gemeinsamen Häufigkeiten \(n_{ij}\) müssen größer als Null sein und für nicht mehr als 20% der Werte darf gelten \(n_{ij} < 5\). Sollten diese Voraussetzungen nicht erfüllt sein, kann für 2x2 Kontingenztabellen der Exakte Fisher-Test anwendet werden.
Exakter Fisher-Test
Der Exakte Fisher-Test überprüft wie der Chi-Quadrat-Test die Unabhängigkeit zweier diskreter Merkmale. Dabei stellt der Exakte Fisher-Test jedoch keine Voraussetzungen an die Stichprobengröße. Der ursprüngliche Test ist auf 2x2 Kontingenztabellen ausgelegt und händisch berechenbar. Für Erweiterungen sind Statistikprogramme zur Berechnung erforderlich. Der Exakte Fisher-Test unterscheidet sich von vielen Signifikanztests dahingehend, dass die Signifikanz einer Abweichung von der Nullhypothese exakt berechnet werden kann.
Der Exakte Fisher-Test wird anhand einer neuen Fragestellung beschrieben: Hängt das Rauchverhalten der Befragten vom Geschlecht ab? Bzw. unterscheidet sich das Rauchverhalten der ältesten Befragten zwischen den Geschlechtern? Die folgenden zwei Tabellen zeigen nämlich, dass wenn nur die Befragten betrachtet werden, die vor 1933 geboren wurden, die Häufigkeiten \(n_{ij} < 5\) in zwei Zellen sind und somit der Chi-Quadrat-Test nicht mehr angewendet werden sollte.
Alle Befragten:
MAENNLICH | WEIBLICH | \(\sum\) | |
---|---|---|---|
RAUCHER: JA | 586 | 412 | 998 |
RAUCHER: NEIN | 1174 | 1297 | 2471 |
\(\sum\) | 1760 | 1709 | 3469 |
Alle Befragten, die vor 1933 geboren wurden:
MAENNLICH | WEIBLICH | \(\sum\) | |
---|---|---|---|
RAUCHER: JA | 4 | 1 | 5 |
RAUCHER: NEIN | 43 | 51 | 94 |
\(\sum\) | 47 | 52 | 99 |
Für beide Tabellen gilt folgender Zusammenhang zwischen den Zelleinträgen:
MAENNLICH | WEIBLICH | \(\sum\) | |
---|---|---|---|
RAUCHER: JA | a | b | a + b |
RAUCHER: NEIN | c | d | c + d |
\(\sum\) | a + c | b + d | a + b + c + d (=n) |
Die Wahrscheinlichkeit für eine Kombination der Einträge a-d folgt nach Fisher einer hypergeometrischen Verteilung und kann wie folgt berechnet werden: $$p=\frac{(a+b)! (c+d)! (a+c)! (b+d)!}{a! b! c! d! n!}$$
Im Beispiel führt dies für die oben angegebene Kombination zu: $$p=\frac{(4+1)! (43+51)! (4+43)! (1+51)!}{4! 1! 43! 51! 99!} = 0.129678$$
Beim Exakten Fisher-Test werden die Randhäufigkeiten immer als gegeben angesehen. In diesem Beispiel bedeutet dies, dass 5 der 99 älteren Befragten rauchen. Unter der Annahme, dass Frauen und Männer mit gleicher Wahrscheinlichkeit rauchen, was ist die Wahrscheinlichkei, dass nur eine der 52 Frauen oder sogar keine raucht, aber dafür 4 oer 5 der 47 Männer? Die Wahrscheinlichkeit für den ersten Fall wurde oben berechnet. Laut Fisher müssen zur Berechnung des Signifikanzniveaus nun alle weiteren extremen Fälle berechnet werden, bei gleichbleibender Randhäufigkeit.
Dies bedeutet im Beispiel: $$p=\frac{(5+0)! (42+52)! (5+42)! (0+52)!}{5! 0! 42! 52! 99!} = 0.02144675$$
Die Addition der beiden Wahrscheinlichkeiten gibt den p-Wert=0.1511248 des einseitigen Exakten Fisher-Tests mit der Alternative, dass Männer höheren Alters eher rauchen als Frauen. Die Nullhypothese, dass es keinen Unterschied im Rauchverhalten zwischen älteren Männern und Frauen könnte auf dem 15,11% Niveau abgelehnt werden. Je kleiner der p-Wert, desto eher kann die Nullhypothese abglehnt werden. Für einen zweiseitigen Test müssten auch die Extremfälle in die andere Richtung berücksichtigt werden. Dafür werden alle Kombinationen berücksichtigt, deren Wahrscheinlichkeit gleich oder geringer ist als die Wahrscheinlichkeit der beobachteten Tabelle.
! Interne Notiz: Chi-Quadrat, Fisher Exakt Test, McNemar) \frac{}{}
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