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Wenn die Normalverteilungsannahme der einfaktoriellen ANOVA nicht erfüllt ist, kann man auf den Kruskal-Wallis Test als nichtparametrische Alternative zurückgreifenzurückgegriffen werden. Der Kruskal-Wallis-Test kann als Verallgemeinerung des, für den 2 Stichprobenfall verwendeten Mann-Whitney-U-Tests verstanden werden. Betrachtet werden, wie beim Mann-Whitney-U-Test, nicht die konkreten Realisierungen \(x_{ij}\), sondern die entsprechenden Ränge \(R_{ij}\). Die zu testende Nullhypothese lautet: \(H_{0}:\) Die \(I\) Stichproben entstammen der gleichen Grundgesamtheit.
Grundlegende Testidee:
- Prüfgröße H wert
- Rang \(R_{i}\) für jede der n Beobachtungen bestimmen (Stichproben werden vereinigt)
- Berechnung der Rangsummen für die einzelnen Gruppen \(S_{h}\)
- Daraus folgt die Teststatistik
$$H= \tfrac{12}{n(n+1)}\sum_h\tfrac{S_h^2}{n_h}-3(n+1)$$
- Wenn Bindungen vorliegen: \(t_{r(i)}\) Zahl beobachtungen mit Rang i
$$H= \frac{\tfrac{12}{n(n+1)}\sum_h\tfrac{S_h^2}{n_h}-3(n+1)}{1-\tfrac{1}{(n^3-n)} \sum t_{r(i)}^3 - t_{r(i)}}$$
- Teststatistik ist unter der \(H_{0}\) Chi-Quadrat verteilt
- Freiheitsgrade \(Df=k-1\)
Anwendung von bestimmten post hoc tests auch möglich, gleicher grund wie zuvor
Beispiel:
Erweiterungen
Mehrfaktorielle ANOVA
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