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Wenn die Normalverteilungsannahme der einfaktoriellen ANOVA nicht erfüllt ist, kann auf den Kruskal-Wallis Test als nichtparametrische Alternative zurückgegriffen werden. Der Kruskal-Wallis-Test kann als Verallgemeinerung des, für den 2 Stichprobenfall verwendeten Mann-Whitney-U-Tests verstanden werden. Betrachtet werden, wie beim Mann-Whitney-U-Test, nicht die konkreten Realisierungen \(x_{ij}\), sondern die entsprechenden Ränge \(R_{ij}\). Die zu testende Nullhypothese lautet: \(H_{0}:\) Die \(I\) Stichproben entstammen der gleichen Grundgesamtheit.
Grundlegende Testidee:
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Um die Testentscheidung zu treffen, sprich die \(
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H_{
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0}\)
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abzulehnen oder beizubehalten, wird die Teststatistik \(H\) berechet. Dafür werden alle Stichproben vereinigt und allen \(n\) Realisierungen \(x_{ij}\), Ränge \(R_{ij}\) zugewiesen. Anschließend folgt die Berechnung der Rangsummen \(R_{i}\) für die einzelnen Gruppen. Wenn keine Bindungen vorliegen, also keine Realisierungen doppelt vorkommen, ergibt sich die folgende Teststatistik:
$$H= \tfrac{12}{n(n+1)}\sum_h\tfrac{S_h^2}{n_h}-3(n+1)$$
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