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Die Varianzanalyse oder ANOVA (von analysis of variance) ist ein Verfahren, welches auf Gruppenunterschiede testet. Der Name Varianzanalyse kommt daher, dass versucht wird die Gesamtvarianz der abhängigen, metrischen Variable zu zerlegen. Dabei wird ein (möglichst großer) Teil der Varianz durch die unabhängigen Faktoren erklärt (Varianz zwischen den Gruppen) während die restliche, nicht erklärbare Varianz als Zufallsprozess aufgefasst wird (Varianz innerhalb der Gruppen). In ihrer einfachsten Form, der einfaktoriellen Varianzanalyse, ist sie als Verallgemeinerung des zwei-Stichproben t-Tests auf Mehr-Gruppen-Vergleiche darstellbar. Natürlich könnte man für alle mögliche Gruppenvergleiche auch paarweise t-Tests durchführen (führt zur Alphafehler-KummulierungKumulierung, häufig auch \(\alpha\)-Fehler-Inflation, siehe Artikel über multiples Testen), die Varianzanalyse bietet jedoch mehrere Vorteile. So kann getestet werden, ob ein Faktor als ganzes einen Erklärungsgehalt besitzt und es existieren effiziente Testverfahren für multiple Vergleiche (siehe Artikel über multiples Testen). Außerdem bietet sie eine etwas effizientere Schätzung, wenn man davon ausgeht, dass die Varianzen in den Gruppen gleich sind (Varianzhomogenität), da so nur ein Varianzparameter geschätzt werden muss.
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Wie bei jeder statistischen Auswertung empfiehlt sich zunächst eine deskriptive Analyse um sich einen Überblick über die Daten zu veschaffen verschaffen. Hierfür eignet sich, die Ausgabe der Mittelwerte und Standardabweichungen in den einzelnen Gruppen. Um weitere Einblicke über die Verteilung der Daten in den einzelnen Gruppen zu erlangen eignen sich graphische Methoden, wie Boxplots und Balkendiagramme der Mittelwerte mit Standardfehlern oder Konfidenzintervallen (bzgl. des Mittelwerts).
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- SSA:= Sum of Squared erors of All treatment, (sample) means vs. grand mean (Quadratische Abweichung der Mittelwerte vom Gesamtmittelwert der Gruppen).
- SSE:= Sum of Squared Errors of all observation vs. respective sample means (gesamte Abweichung von den Mittelwerten in den Gruppen).
- SST:= Sum of Squared errors Total for all observations vs. grand mean = SSA+SSE
Je weiter die Mittelwerterte Mittelwerte der einzelnen Faktorstufen vom Gesamtmittelwert abweichen, desto größer wird der Wert für SSA, im Vergleich zum Wert für SSE. Bei Gültigkeit der \(H_{0}\) sollte der Quotient \(\frac{SSA}{SSE}\) nahe bei Null liegen. Je größer SSA wird -und somit auch \(\frac{SSA}{SSE}\)- desto unwahrscheinlicher ist die Gültigkeit der \(H_{0}\). Bei zu großen Werten von F wird \(H_{0}\) zu gunsten Gunsten der \(H_{1}\) verworfen.
Post-Hoc-Tests:
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Die einfaktorielle Varianzanalyse wird jetzt mit Hilfe eines Beispiels genauer erläutert. Es soll anhand einer Umfrage unter Studenten der wirtschaftswissenschaftlichen Fakultät der FU-Berlin überprüft werden, ob es signifikante Körpergrößenunterschiede zwischen Studenten aus Berlin, aus einem anderen Bundesland und dem Auslang Ausland gibt. Die abhängige metrischen Variable ist hierbei die Körpergröße und die Herkunft (mit den drei Ausprägungen, Faktorstufen) fungiert als Faktorvariable. In diesem Beispiel wird davon ausgegangen, dass alle Annahmen der ANOVA erfüllt sind.
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In der Ausgabe finden wir Informationen zu den Quadratsummen zwischen und innerhalb der Gruppen. Wie aus der Berschreibung Beschreibung der grundlegenden Testidee Test Idee ersichtlich wurde, sprechen hohe Abweichungen zwischen den Gruppen im Verhältnis zu kleinen Abweichungen innerhalb der Gruppen für die \(H_{1}\). Die Berechnung des Quotienten \(373.719/85.506\) ergibt den Wert der Teststatistik \(F=4.371\). Um die Testentscheidung zu treffen gibt uns SPSS außerdem den p-Wert unter dem Namen "Signifikanz" aus. Da der p-Wert mit \(0.014 < 5%\) ist, lehnen wir die \(H_{0}\) ab. Inhaltlich bedeuted bedeutet dies, dass es zu einem Signifikanzniveau von 5% einen signifikanten Körpergrößenunterschied (Mittelwertsunterschied) zwischen den Studierenden mit unterschiedlicher Herkunft gibt. Um nun herauszufinden zwischen welchen Mittelwertspaaren es signifikante Unterschiede gibt wird ein Post-Hoc-Test (der Least significant difference test (LSD)) verwendet.
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Wie aus der Abbildung ersichtlich wird, werden alle Gruppen paarweise miteinander verglichen (Urberliner mit zugezogen aus anderem Bundesland, Urberliner mit zugezogen aus dem Ausland, usw.). Der Output zeigt die Differenz zwischen den Mittelwerten der Gruppen, den Standardfehler, den p-Wert (unter Signifikanz) und das 95%-Konfidenzintervall. Inhaltlich kann gesagt werden, dass es zu einem signifikanzniveau Signifikanzniveau von 5% signifikante Größenunterschiede zwischen Urberlinern und Studenten die zugezogen aus dem Ausland sind gibt (\(p-Wert=0.004<5%\)), sowie zwischen Studenten die zugezogen aus einem anderen Bundesland und zugezogen aus dem Ausland sind gibt. Die Testentscheidung kann natürlich auch mit Hilfe des 95%-Konfidenzintervalls getroffen werden. Beim Blick auf das Konfidenzintervall für die Mittlere Differenz zwischen Urberlinern und Studenten die zuegzogen zugezogen sind aus dem Ausland fällt auf, dass dieses die 0 nicht beinhaltet \([ 1.88;9.56 ] \). Die inhaltliche Interpretation entspricht der Interpretation des Testergebnisses.
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Um die Testentscheidung zu treffen, sprich die \(H_{0}\) abzulehnen oder beizubehalten, wird die Teststatistik \(H\) berechetberechnet. Dafür werden alle Stichproben vereinigt und allen \(n\) Realisierungen \(x_{ij}\), Ränge \(R_{ij}\) zugewiesen. Anschließend folgt die Berechnung der Rangsummen \(R_{i}\) für die einzelnen Gruppen. Wenn keine Bindungen vorliegen, also keine Realisierungen doppelt vorkommen, ergibt sich die folgende Teststatistik:
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\(t_{r(i)}\) beschreibt die Anzahl der Beobachtungen mit Rang \(i\). Die Testatistik Teststatistik \(H\) ist unter der \(H_{0}\) Chi-Quadrat-verteilt mit Freiheitsgraden \(Df=k-1\), wobei \(k\) für die Anzahl der Klassen steht. Wie bei der zuvor beschriebenen einfaktoriellen ANOVA ist es sinnvoll Post-hoc-Tests durchzuführen, um zu untersuchen zwischen welchen Gruppen Unterschiede vorliegen.
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In dem Output kann die \(H_{0}\) abgelesen werden. Es wird zur Überprüfung angezeigt welchen Test wir gewählt haben (den Kruskal-Wallis-Test bei unabhängigen Stichproben). Desweiteren Außerdem wird unter "Sig." der p-Wert ausgegeben und die Testentscheidung verbalisiert. Da der p-Wert mit 0.007 kleiner ist als 5%, wird die \(H_{0}\) zu einem Signifikanzniveau von 5% verworfen. Dementsprechend, ist die Verteilung der Körpergröße nicht über die Studentengruppen hinweg identisch.
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Neben der bisher vorgestellten einfaktoriellen ANOVA und ihrem nichtparametischen Pendant, dem Kruskal-Wallis Test, gibt es noch eine Reihe an Erweiterungen. Im folgenden Folgenden wird daher auf einige, häufig verwendetete verwendet Erweiterungen, kurz eingegangen.
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Die ANCOVA gehört zu der Modellklasse der generalisierten linearen Modelle und kann als Mischung zwischen einer linearen Regression und einer ANOVA angesehen werden. Ziel ist die Untersuchung einer abhängigen Variable auf Mittelwertsunterschiede zwischen den einzelnen Faktorstufen der unabhängigen Variablen, wobei der Effekt von stetigen Kovariaten berücksichtigt wird. Die stetigen Kovariate sind nicht von primären inhaltlichen Interesse und diesen lediglich als "Kontrollvariable". Bei der ANCOVA wird die Gesamtvarianz in die Varianz der Kovariate, die Varianz der kategoriellen kategorialen unabhängigen Variablen und die Varianz der Residuen zerlegt. Die ANCOVA kann genutzt werden um die statistische Power (also dem Auffinden von signifikanten Mittelwertsunterschieden zwischen den Gruppen, falls welche existieren) der Analyse zu erhöhen. Dies geschieht indem die Varianz innerhalb der Gruppen minimiert wird. Zum besseren Verständnis ist es hilfreich die Funktionsweise des F-Tests noch einmal zu verdeutlichen:
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