Aufbau und Interpretation der logistischen Regression
Das (binomiale) logistische Regressionsmodell ist durch folgende Gleichung gegeben:
$$P(y_i=1|X=x_{( i )})=G(x_{( i )}\prime\beta)=p_i=\frac{exp(\beta_1+x_{i,2}\beta_2+...+x_{i,p}\beta_p)}{1+exp(\beta_1+x_{i,2}\beta_2+...+x_{i,p}\beta_p)}=\frac{1}{1+exp(-\beta_1---pp,\forall i\in\{1,\dots,n\} $$Die Parameter \\) werden mit der Maximum-Likelihood-Methode geschätzt, da eine direkte Berechnung mittels kleinster Quadrate (siehe lineare Regression) nicht möglich ist. Die Schätzwerte werden anhand iterativer Verfahren wie dem Newton-Raphson Algorithmus ermittelt. Da die log-Likelihood Funktion des logistischen Regressionsmodells überall konkav ist, exisitiert ein eindeutiger Maximum-Likelihood Schätzer für die zu bestimmenden Parameter.Durch Umformung der obigen Gleichung erhält man die sogenannten Logits (\(\text{ln}\left(\frac{p_i}{1-p_i}\right)\)). In dem Beispiel sieht das wie folgt aus:
Hier soll der Zusammenhang zwischen Nettoeinkommen in Euro pro Monat (\(NETTO\)) und der Wahrscheinlichkeit, Raucher zu sein (\(p\)), erklärt werden:
Modell: \(\text{ln}\left(\frac{p_i}{1-p_i}\right)=\beta_0 + \beta_1 \cdot NETTO_i\)
dargestellt. Zieht man den Logarithmus von dieser Gleichung, wird unser Modell linear in den Koeffizienten und man kann die gewohnte Interpretation wie in der linearen Regression anwenden. Wird \(x_1\) ceteris paribus um eine Einheit erhöht (alle anderen erklärenden Variablen verbleiben auf dem alten Wert), verändert sich die Oddsratio um \(exp(\beta_1)\), also um \(\beta_1\cdot 100\%\). Inhaltlich stellen die Odds die Chance oder eine Risiko dar. In unserem Beispiel wäre dies das "Risiko", Raucher zu sein. Die Koeffizienten geben dann an, um wieviel Prozent sich das Risiko oder Chance erhöht, wenn man eine der unabhängigen Variablen um eine Einheit erhöht (ceteris paribus).
Hat die abhängige Variable mehr als zwei Ausprägungen (J + 1), ist also multinomial skaliert wird das multinomiale Logitmodell verwendet. Wenn die Fehlerterme unaghängig und gleichverteilt sind nach der Gumbel Verteilung, ergibt sich als Modellgleichung für die Wahrscheinlichkeit, dass \(y_i\) die Ausprägung j annimmt:
$$P(y_i=j|X=x_{( i)})=p_{ij}=\frac{exp(x_{( i )}\prime\beta_j)}{1+\sum_{h=1}^J exp(x_{( i )}\prime\beta_h)},\forall j\in\{1,\dots,J\}$$
Hierbei ist zu beachten, dass zur Parameteridentifikation eine Basiskategorie derart angenommen werden muss, dass beispielsweise gilt \(\beta_0=0\). Sonst können die Parameter nicht eindeutig geschätzt werden. Anders ausgedrückt reicht es J Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, um J + 1 Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen, da sie sich insgesamt zu eins addieren müssen. Im Fall von J + 1 = 2 landet man wieder beim Standard logistischen Modell (siehe oben).
Komponenten und Begriffe
Die Güte des Modells
1. Gesamtzahl an Beobachtungen:
Die gesamte Anzahl an Beobachtungen im Datensatz entspricht der Anzahl an Zeilen. Diese wird häufig mit n gekennzeichnet. Im Umfragedatensatz gibt es insgesamt 3471 Beobachtungen.
2. Gelöschte Beobachtungen:
Bei fehlenden Werten in Variablen können Beobachtungen für die Modellanalyse nicht berücksichtigt werden. Im Beispiel sind dies 754 Beobachtungen.
3. Zahl der Beobachtungen:
Hiermit ist die Zahl der Beobachtungen gemeint, die zur Anpassung des Modells genutzt wird. Das bedeutet, dass diese Anzahl sich aus der Differenz der Gesamtzahl an Beobachtungen und den gelöschten Beobachtungen auf Grund von fehlenden Werten in den gewünschten Variablen ergibt. In dem Modell wurden 2717 Beobachtungen genutzt.
6. Pseudo R²
Das R² basiert auf dem Varianzzerlegungssatz, der besagt, dass sich die Varianz der abhängigen Variablen als die Summe eines Varianzteils, der durch das Regressionsmodell erklärt wird und der Varianz der Residuen (nicht erklärte Varianz) schreiben lässt. Das Bestimmtheitsmaß ist der Quotient aus erklärter Varianz und Gesamtvarianz. Als Anteilswert kann das R² Werte zwischen 0 und 1 annehmen. Das R^2 misst aber nur lineare Zusammenhänge, den es beim Logit-Modell jedoch nicht gibt. Die Definition von „Varianz“ ist im binär-logistischen Fall anders. Als Basis dienen hier Vergleiche der Likelihood Funktion L für das Null- und das vollständige Modell. Bekannte "Pseudo R^2" sind:
$$\text{McFadden}\quad R^2=1-\frac{L_{null}}{L_{voll}}$$
$$\text{Cox&Snell}\quad R^2=1-\left(\frac{L_{null}}{L_{voll}}\right)^{\frac{2}{n}}$$
$$\text{Nagelkerkes}\quad R^2=\frac{1-\left(\frac{L_{null}}{L_{voll}}\right)^{\frac{2}{n}}}{1-(L_{null})^\frac{2}{n}}$$
Das geschätzte Modell im Beispiel hat ein McFadden R^2 von 0.0001. Die Interpretation ist anders als im Kontext eines linearen Zusammenhangs. Man kann nun nicht mehr von einem erklärten Anteil sprechen. Vielmehr entziehen sich die Pseudo R^2 jeglicher inhaltlicher Interpretation. Es gilt jedoch für alle drei vorgestellten Maße folgende Faustregel:
\(R^2>0.2\): Modellanpassung ist akzeptabel
\(R^2>0.4\): Modellanpassung ist gut
\(R^2>0.5\): Modellanpassung ist sehr gut
8. Standardfehler des Schätzers:
Da das Logit Modell nicht analytisch lösbar ist, wird der Schätzer numerisch mittels der Maximum-Likelihood Methode ermittelt. Über diese Art von Schätzern können nur asymptotische Aussagen getroffen werden. So entspricht auch der Standardfehler asymptotisch dem Inversen der Fisher-Information.