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Analog zu dieser Erweiterung könnten in der Paneldatenanalyse die Individuen aus unterschiedlichen Regionen stammen. Die Regionen würden in diesem Fall Ebene 3, die Individuen Ebene 2 und die Zeitpunkte Ebene 1 entsprechen. Im Beispiel der Klinischen Studie könnten die Patienten über mehrere Zeitpunkte beobachtet werden, wobei die Kliniken dann Ebene 3, die Patienten Ebene 2 und die Zeitpunkte Ebene 1 entsprächen.
Die Datenstruktur bestimmt die Abhängigkeitsstruktur oder auch Clusterung in den Daten. Als Cluster werden allgemein Beobachtungen bezeichnet, die sich aufgrund von Gemeinsamkeiten ähneln. Im Beispiel wird die Abhängigkeit durch die Klassenzugehörigkeit bestimmt. Es ist zu erwarten, dass die Ergebnisse der Schüler innerhalb einer Klasse ähnlicher sind als die Ergebnisse im Vergleich zwischen den Klassen. Dies ist bedingt durch messbare klassenspezifische Faktoren, wie Klassengröße oder Geschlecht des Lehrers, aber auch durch nicht messbare Faktoren, wie Zusammengehörigkeitsgefühl oder Beziehung zum Lehrer. Werden die Schüler zusätzlich über verschiedene Zeitpunkte beobachtet, kommt eine zeitliche Abhängigkeit hinzu. Es ist zu erwarten, dass sich die Ergebnisse eines Schülers über die Zeit ähnlicher sind als die Ergebnisse unterschiedlicher Schüler. Dies ist Bedingt durch beobachtbare schülerspezifische Eigenschaften, wie Geschlecht oder sozioökonomische Kennzahlen des Elternhauses, aber auch nicht beobachtbaren Eigenschaften, wie Motivation für das Fach oder Begabung. Diese Abhängigkeit, die durch Zugehörigkeit in den verschieden Ebenen bedingt ist wird allgemein als Intraklassenkorrelation (geläufige Abkürzung ICC) bezeichnet.
Beispiel 1
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Beispiel 2 Anker Beispiel 2 Beispiel 2
Beispiel 2 | |
Beispiel 2 |
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$$\bar{y}_{i} = \alpha_0+ \alpha_1 \bar{x}_{i} +\alpha_2 z_{i} + e_{i}$$
$$e_{ij} \sim N(0,\sigma_e^2)$$
Modellparameter
- \(\alpha_0\): Regressionskonstante
- \(\alpha_1\): Effekt von \(x\) auf \(y\)
- \(\alpha_2\): Effekt der Kontextvariable \(z\) auf \(y\)
- \( \sigma_e^2\): Varianz des Fehlerterms
$$y_{ij} = \alpha_0+ \alpha_1 x_{ij} +\alpha_2 z_{i} + e_{ij}.$$
$$e_{ij} \sim N(0,\sigma_e^2)$$
Modellparameter
- \(\alpha_0\): Regressionskonstante
- \(\alpha_1\): Effekt von \(x\) auf \(y\)
- \(\alpha_2\): Effekt der Kontextvariable \(z\) auf \(y\)
- \( \sigma_e^2\): Varianz des Fehlerterms
$$y_{ij} = \alpha_{0}+ \mu_i+ \alpha_1 x_{ij} + e_{ij}.$$
$$ e_{ij} \sim N(0,\sigma_e^2)$$
Modellparameter
- \(\alpha_{0}\): Regressionskonstante
- \(\mu_{i}\): klassenspezifische Verschiebung
- \(\alpha_1\): Effekt von \(x\) auf \(y\)
- \( \sigma_e^2\): Varianz des Fehlerterms
$$y_{ij} = \underbrace{\alpha_{0} + \alpha_1 x_{ij} +\alpha_2 z_{i}}_{feste\,\, Effekte} + \underbrace{u_{i}+ e_{ij}}_{Fehlerterm}$$
$$ e_{ij} \sim N(0,\sigma_e^2), \,\, u_{i} \sim N(0,\sigma_u^2)$$
Modellparameter
- \(\alpha_{0}\): Regressionskonstante
- \(\alpha_1\): Effekt von \(x\) auf \(y\)
- \(\alpha_2\): Effekt der Kontextvariable \(z\) auf \(y\)
- \( \sigma_e^2\): Varianz des individuellen Fehlerterms
- \( \sigma_u^2\): Varianz der gruppenspezifischen Konstante
$$y_{ij} =\underbrace{\alpha_{0} + \alpha_1 x_{ij} +\alpha_2 z_{i} }_{feste\,\, Effekte} + \underbrace{c_{i} x_{ij} +u_i + e_{ij}}_{Fehlerterm}$$
$$ e_{ij $$ e_{ij} \sim N(0,\sigma_e^2), \,\, u_{i} \sim N(0,\sigma_u^2), \,\, c_{i} \sim N(0,\sigma_e^2), \,\, u_{i} \sim N(0,\sigma_u^2), \,\, c_{i} \sim N(0,\sigma_c^2)$$
$$Cov(u_i,c_i)=\rho$$
Modellparameter
- \(\alpha_{0}\): Regressionskonstante
- \(\alpha_1\): Effekt von \(x\) auf \(y\)
- \(\alpha_2\): Effekt der Kontextvariable \(z\) auf \(y\)
- \( \sigma_e^2\): Varianz des individuellen Fehlerterms
- \( \sigma_u^2\): Varianz der gruppenspezifischen Konstante
- \( \sigma_c^2\): Varianz des gruppenspezifischen Steigungsparameters
c^2)$$
$$Cov(u_i,c_i)=\rho$$
Modellparameter
- \(\alpha_{0}\): Regressionskonstante
- \(\alpha_1\): Effekt von \(x\) auf \(y\)
- \(\alpha_2\): Effekt der Kontextvariable \(z\) auf \(y\)
- \( \sigma_e^2\): Varianz des individuellen Fehlerterms
- \( \sigma_u^2\): Varianz der gruppenspezifischen Konstante
- \( \sigma_c^2\): Varianz des gruppenspezifischen Steigungsparameters