Varianzanalyse/ANOVA

Die Varianzanalyse oder ANOVA (von analysis of variance) ist ein Verfahren, welches auf Gruppenunterschiede testet. Der Name Varianzanalyse kommt daher, dass versucht wird die Gesamtvarianz der abhängigen, metrischen Variable zu zerlegen. Dabei wird ein (möglichst großer) Teil der Varianz durch die unabhängigen Faktoren erklärt (Varianz zwischen den Gruppen) während die restliche, nicht erklärbare Varianz als Zufallsprozess aufgefasst wird (Varianz innerhalb der Gruppen). In ihrer einfachsten Form, der einfaktoriellen Varianzanalyse, ist sie als Verallgemeinerung des zwei-Stichproben t-Tests auf Mehr-Gruppen-Vergleiche darstellbar. Natürlich könnte man für alle mögliche Gruppenvergleiche auch paarweise t-Tests durchführen (führt zur Alphafehler-Kummulierung, häufig auch \(\alpha\)-Fehler-Inflation, siehe Artikel über multiples Testen), die Varianzanalyse bietet jedoch mehrere Vorteile. So kann getestet werden, ob ein Faktor als ganzes einen Erklärungsgehalt besitzt und es existieren effiziente Testverfahren für multiple Vergleiche (siehe Artikel über multiples Testen). Außerdem bietet sie eine etwas effizientere Schätzung, wenn man davon ausgeht, dass die Varianzen in den Gruppen gleich sind (Varianzhomogenität), da so nur ein Varianzparameter geschätzt werden muss.

Einfaktorielle Varianzanalyse

Zunächst wird der einfachste Fall, die einfaktorielle Varianzanalyse, behandelt. Getestet werden soll, ob es Mittelwertsunterschiede zwischen mindestens 3 unabhängigen Stichproben gibt, dabei entspricht der Gesamt-Stichprobenumfang der Summe der Teil-Stichprobenumfänge. Die abhängige Variable muss dabei metrisch skaliert sein (z.B. Körpergröße). Die kategoriale Variable mit \(I\) Kategorien (Ausprägungen) die die Gesamt-Stichprobe in \(I\) unabhängige Teil-Stichproben teilt nennt man Faktor. Die einzelnen Kategorien (Ausprägungen) eines Faktors werden Faktorstufen genannt. Wenn nur der Einfluss von einem Faktor gemessen werden soll, spricht man von der einfaktoriellen Varianzanalyse. Die zu testende Nullhypothese lautet

$$H_0: \mu_1=\mu_2=... =\mu_I$$.

In Worten: Es gibt keine Mittelwertsunterschiede zwischen den \(I\) Faktorstufen.

Wie bei jeder statistischen Auswertung empfiehlt sich zunächst eine deskriptive Analyse um sich einen Überblick über die Daten zu veschaffen. Hierfür eignet sich, die Ausgabe der Mittelwerte und Standardabweichungen in den einzelnen Gruppen. Um weitere Einblicke über die Verteilung der Daten in den einzelnen Gruppen zu erlangen eignen sich graphische Methoden, wie Boxplots und Balkendiagramme der Mittelwerte mit Standardfehlern oder Konfidenzintervallen (bzgl. des Mittelwerts).

Neben der einfachen einfaktoriellen Varianzanalyse existieren noch eine Vielzahl von Erweiterungen und Generalisierungen, auf welche später noch eingegangen wird.

Annahmen:

Für die Gültigkeit der statistischen Tests wird von 3 zentralen Annahmen ausgegangen:

1. Normalverteilte Residuen: Die Fehlerterme sind normalverteilt, d.h. \(\epsilon \sim N(0,\sigma^2)\).
2. Varianzhomogenität: Die Fehlertermvarianz (\sigma) wird über alle Gruppen gleich angenommen (Homoskedastizitätsannahme).
3. Die Stichproben sind unabhängig.

Die erste Annahme lässt sich grafisch über einen QQ-Plot überprüfen. Ein häufiger Fehler der gemacht wird, ist die Werte der abhängigen Variablen selber zu verwenden (\(y_i\)), statt der Residuen (\(\epsilon_i\)). Alternativ kann man die Residuen auch mit einem Test auf Normalverteilung (z.B. Kolmogorov-Smirnov-Test oder Shapiro-Wilk) überprüfen, jedoch ist dies nur begrenzt sinnvoll (siehe folgende Diskussion: http://stats.stackexchange.com/questions/2492/is-normality-testing-essentially-useless). Solange es zu keinen gravierenden Abweichungen von der Normalverteilung kommt ist diese Annahme insbesondere bei großen Fallzahlen aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes bei kleineren Abweichungen vom Idealfall tolerabel.

Die zweite Annahme kann man mit Hilfe des Levene-Test überprüfen (wobei dieser eine relativ geringe Power besitzt). Auch hier gilt, dass die Varianzanalyse relativ robust gegenüber leichten bis mittleren Verletzungen dieser Annahme ist, wie viele Simulationen gezeigt haben.

Falls die obigen Annahmen erheblich verletzt sind, empfiehlt es sich zunächst eine Transformation der abhängigen Variablen vorzunehmen. Sinnvoll sind insbesondere die Logarithmus-Transformation, da viele Variablen wie z.B. das Einkommen eher auf einer multiplikativen Skala statt einer additiven Skala Sinn ergeben. Weitere Transformationen sind die Wurzeltransformation oder die Box-Cox-Transformation. Wenn dies immer noch nicht zum Erfolg führt, gibt es nichtparametrische bzw. robuste Alternativen (siehe unten).

Grundlegende Testidee

Omnibus-F-Test:

Post-Hoc-Tests:

Kruskal-Wallis-Test als nichtparametrische Alternative:

Erweiterungen

Mehrfaktorielle ANOVA

Multivariate ANOVA (MANOVA)

Mixed effects ANOVA

Analysis of Covariance (ANCOVA)