Datensätze können sehr unübersichtlich sein. Die deskriptive („beschreibende“) Statistik stellt ein Bündel an Verfahren, Grafiken und Parametern bereit, welche es ermöglichen, die Informationen soweit zu verdichten, dass man sich schnell einen Eindruck über die Daten verschaffen kann. Eine deskriptive Auswertung sollte am Anfang jeder statistischen Analyse stehen. Sie vermittelt dem/der Forscher/-in ein Gefühl für die Daten und hilft ggf., vorhandene Fehler und unplausible Werte (z.B.

Ausreißer/ Outlier) zu entdecken.

Wichtig hierfür ist die Kenntnis über das Skalenniveau der Daten, die untersucht werden sollen, da die Wahl des Mittels zur Beschreibung eines Datensatzes von diesem

Inhaltsverzeichnis

abhängt.

Beginnt man mit der Auswertung einer empirischen Studie so ist es sinnvoll, sich zuerst einen Überblick über den vorliegenden Datensatz zu verschaffen, bevor die angestrebten Auswertungsmethoden angewandt werden. Hierbei geben Lage- und Skalenparameter erste Informationen zu dem  Datensatz. Die Visualisierung der Daten ist für das bessere Verständnis des Datensatzes erforderlich. Durch diese kann ein Eindruck von der Verteilung der Merkmale oder dem Zusammenhang zwischen unterschiedlichen Merkmalen gewonnen werden. 

Inhaltsverzeichnis

Einleitung

Überschriften, die ins Inhaltsverzeichnis aufgenommen werden sollen, müssen die Größen Überschrift 1 (Kapitel) und Überschrift 2 (Unterkapitel). Es können natürlich auch weitere Untergliederungen vorgenommen werden, allerdings tauchen diese nicht im Inhaltsverzeichnis auf. Jedes Kapitel (Überschrift 1) bekommt einen eigenen Bereich.

Häufigkeitstabelle

 Format im Text

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Abbildungen und Tabellen werden zentriert. Alle Abbildungen besitzen eine Bildüberschrift, die Teil der Abbildung ist. Wenn dies nicht möglich ist, dann wird entsprechend im Wiki-Editor eine zentrierte Überschrift hinzugefügt. Nach Möglichkeit sollten Bilder eine Überschrift als Eigenschaft haben.

Häufigkeits- und Kontingenztabellen

Häufigkeitstabellen

Einfachstes Das einfachste Mittel zur Darstellung der Verteilung der von Ausprägungen eines Merkmals ist die Häufigkeitstabelle. Das Aufstellen einer Häufigkeitstabelle ist insbesondere für diskrete Merkmale mit einer überschaubaren Anzahl an Ausprägungen sinnvoll. Das Beispiel zeigt eine Häufigkeitstabelle für eine fiktive Umfrage zur Zufriedenheit mit einem bestimmten Produkt (1 bedeutet sehr unzufrieden, 5 sehr zufrieden): TABELLE

Die erste Spalte der Tabelle enthält die Ausprägungen, die zweite Spalte („absolute Häufigkeit“) zählt, wie oft die jeweilige Ausprägung im Datensatz vorkommt. Die „relative Häufigkeit“ gibt den Anteil des Vorkommens der Die erste Spalte der Tabelle enthält die Ausprägungen, die zweite Spalte („absolute Häufigkeit“) zählt, wie oft die jeweilige Ausprägung im Datensatz vorkommt. Die „relative Häufigkeit“ gibt den Anteil des Vorkommens der Ausprägung an. Dieser berechnet sich aus der absoluten Häufigkeit dividiert durch die Gesamtanzahl der Untersuchungseinheiten. Die Anzahl der Untersuchungseinheiten wird bei Teilerhebungen auch als Stichprobenumfang (Symbol: n) bezeichnet und entspricht der Summe der absoluten Häufigkeiten. Die Summe der relativen Häufigkeiten ergibt 1 (100%). Die letzte Spalte enthält die sog. „kumulierte relative Häufigkeit“, also die Summe der relativen Häufigkeiten bis zur aktuellen Zeile. Diese Spalte lässt sich nur bei Variablen mit ordinalem oder metrischem Messniveau sinnvoll interpretieren.

Beispiele:

• absolute Häufigkeit der Zufriedenheit = 5: 5 (fünf Personen sind mit dem Produkt sehr zufrieden)

• relative Häufigkeit der Zufriedenheit = 2: 0.,1 (10% = 1/10 der Personen sind mit dem Produkt tendenziell unzufrieden)

• kumulierte relative Häufigkeit der Zufriedenheit = 2: 0.,15 (15% der befragten Personen sind mit dem Produkt unzufrieden oder tendenziell unzufrieden)

Bei Variablen mit sehr vielen Ausprägungen (oft bei metrischem Messniveau) werden Häufigkeitstabellen zu unübersichtlich, weil sie für jede Ausprägung eine Zeile enthalten. Abhilfe schafft die Klassierung des Merkmals. Bei der Klassierung werden statt einzelnen Merkmalsausprägungen bestimmte Bereiche betrachtet. Ein Beispiel könnte folgende Klassierung der Variable Größe aus dem ALLBUS Datensatz sein:

1. Klasse: 140 cm bis einschließlich 145 cm
2. Klasse: über 145 cm bis einschließlich 150 cm
3. Klasse: über 150 cm bis einschließlich 155 cm usw.

Statt der einzelnen Ausprägungen werden nun die Klassen verwendet, für die dann absolute, relative und kumulierte relative Häufigkeit in einer Häufigkeitstabelle zusammengeführt werden können.

Kontingenztabellen

Die Häufigkeitstabelle stellt die Verteilung eines Merkmals dar. Nicht selten liegt das Interesse aber darüber hinaus bei der Suche nach Zusammenhängen zwischen zwei oder mehr Merkmalen. Für diesen Zweck eignen sich Kontingenztabellen (auch „Kreuztabellen“ genannntgenannt), die simultan die Verteilung von zwei (oder auch mehr) diskreten Merkmalen darstellen. Die Kontingenztabelle enthält in der Regel absolute oder relative Häufigkeiten. In bestimmten Situationen hilfreich sind auch Kontingenztabellen mit sog. bedingten relativen Häufigkeiten in den Zeilen oder Spalten.

Mehr Informationen zu Kontingenztabellen finden sich im Abschnitt Standardauswertungen.

Lage- und Skalenparameter

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lageparameter lageparameter

Lage- und Skalenparameter sind bei der ersten Analyse von Daten äußerst nützlich, da die Informationen, die zu einem Merkmal im Datensatz vorliegen, auf einen Wert verdichtet werden können.

Modus

Als Lageparameter für nominal-skalierte Variablen wird in der Regel der Modus empfohlen. Sowohl , denn sowohl arithmetisches Mittel, als auch Median können nicht verwendet werden. Der Modus entspricht immer der Merkmalsausprägung, die am häufigsten realisiert wurde. Bei einer Umfrage nach den Geburtsmonaten in einer Klasse beispielsweise, stellt also der Monat den Modus dar, in dem die meisten Schüler Geburtstag haben.

Hat das untersuchte Merkmal mindestens ein ordinales Skalenniveau, kann die zugehörige Häufigkeitsverteilung auch bi- oder sogar multimodal sein. In diesem Fall ist der Modus nicht mehr eindeutig.

Verwendet man klassierte Daten, gibt man die modale Klasse an und weißt als Modus die Klassenmitte der modalen Klasse aus.

Arithmetisches Mittel

Das arithmetische Mittel wird umgangssprachlich als Durchschnitt bezeichnet. Es berechnet sich aus der Summe aller beobachteten Merkmalsausprägungen x₁, x₂, . . . , x_n dividiert durch den Stichprobenumfang n:

$$\bar{x}_{arithm.}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}$$

Somit stellt das arithmetische Mittel einen Spezialfall gewichteter Mittel dar, denn da jede Merkmalsausprägung wird gleichgewichtet mit der Konstante Konstanten \(\frac{1}{n}\) gleichgewichtet wird. Das arithmetische Mittel lässt sich als „Schwerpunkt der Daten“ interpretieren., da gilt: \(\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x}) = 0\)

Vor-Vor-/Nachteile des arithmetischen Mittels:

+ bekanntester Lageparameter

+ leicht und anschaulich zu interpretieren

- wird stark durch extreme Werte in den Daten beeinflusst (nicht robust) -> mögliche Abhilfe: getrimmtes arithmetisches Mittel

- nur für Merkmale mit metrischem Messniveau geeignet (die Abstände zwischen den Werten müssen interpretierbar sein!)

Median

Der Median wird in statistischen Untersuchungen immer häufiger anstelle des arithmetischen Mittels oder ergänzend zu diesem ausgewiesen. Anschaulich lässt sich der Median als der Wert „in der Mitte“ der Daten interpretieren. Bei geradem Stichprobenumfang ist der Median als die Mitte zwischen den beiden mittleren Werten definiert. Es seien x₍₁₎, x₍₂₎, . . . , x_(n) die Beobachtungen aufsteigend nach ihrer Größe geordnet. x₍₁₎ ist also die kleinste Beobachtung und x_(n) ist die größte Beobachtung. Dann ist der Median definiert als:

$$\tilde x=\begin{cases} x_\frac{n+1}{2} & n\text{ ungerade}\\ \frac {1}{2}\left(x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2} + 1}\right) & n \text{ gerade.}\end{cases}$$

Beispiel: Es sei folgende eine Stichprobe vom Umfang n = 8 mit folgenden Werten gegeben: 10,3,7,51,5,13,14,8

Zuerst werden die Werte entsprechend der Göße sortiert:

Der Stichprobenumfang ist gerade, so berechnet sich der Median als \(\tilde x= \frac{1}{2}(x_{4} + x_{5}) = 9\). Im Vergleich dazu ergibt sich für das Arithmetische Mittel ein Wert von \(\bar x = 12,33\).  

Der Unterschied zwischen Median und dem arithemtischen Mittel wird im Beispiel vor allem durch die in Relation zu den restlichen Daten große Beobachtung „51“ verursacht, die den Mittelwert stark, den Median im Gegensatz dazu aber gar nicht beeinflusst.

Vor-/Nachteile des Medians:

+ unempfindlich gegenüber extremen Werten („robust“)

+ bei ordinalem oder metrischem Messniveau sinnvoll interpretierbar

- nutzt bei metrischem Messniveau nicht alle verfügbaren Informationen 

Ausreißer und Extremwerte

Praktiker bezeichnen häufig Werte, die weit von der Masse der Daten entfernt liegen als Ausreißer. Dies ist streng genommen nicht immer korrekt. Es wird nach Extremwerten und Ausreißern unterschieden. Ausreißer sind Werte, die ungültig sind (z.B. durch Fehler bei der Übertragung der Daten oder durch bewusste Falschangaben zustande gekommen sind), während es sich bei Extremwerten um Werte handelt, die (weit) vom Zentrum der Daten entfernt liegen, die jedoch gültig sind (z.B. die Einkommen von Milliardären in der Einkommensstatistik).

Varianz und Standardabweichung

Arithmetisches Mittel und Median beschreiben die Lage der Daten. Ergänzend dazu sind Informationen über die Streuung der Daten von Interesse. Die Daten streuen wenig, wenn sich alle Beobachtungen auf einen relativ kleinen Bereich um den Mittelwert konzentrieren. Ist das Gegenteil der Fall, spricht man von starker Streuung. Da die Erfassung der Ausbreitung eines Datensatzes auf Abstandsmessungen basiert, können Streuungsparameter nur für metrisch skalierte Variablen berechnet werden. Als Standardmaß für die Streuung hat sich die sog. „Varianz“ etabliert. Die Varianz operationalisiert die Streuung als den mittleren quadratischen quadrierten Abstand der Beobachtungen zum Zentrum der Daten (gemessen über das arithmetische Mittel):

$${s'}^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2=\overline{x^2}-\bar{x}^2$$

Der Wert der Varianz lässt sich über die Definition hinaus nicht unmittelbar intuitiv interpretieren. Dagegen ist die Varianz gut geeignet, um die Streuung zweier Merkmale miteinander zu vergleichen.

Gängige Statistikprogramm-Pakete verwenden in der Formel für die Varianz statt \(\frac{1}{n}\) meist den Term \(\frac{1}{n - 1}\) (sogennante korrigierte Stichprobenvarianz). Der Unterschied zwischen beiden Varianten ist bei großen Stichprobenumfängen vernachlässigbar.

Arbeitet man mit klassierten Daten, verwendet man eine Varianzformel bei der die einzelnen Beobachtungen x_i durch die jeweiligen Klassenmitten m_i ersetzt werden (n_i entspricht der absoluten Häufigkeit, \(h_i = \frac{n_i}{n}\) der relativen Häufigkeit der jeweiligen Klasse):

$${s}^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^k (m_i - \bar{x})^2\cdot n_i=\sum_{i=1}^k (m_i - \bar{x})^2\cdot h_i $$

Vor-/Nachteile der Varianz:

+ bekanntester Streuungsparameter

- wird stark durch extreme Werte in den Daten beeinflusst

- nur für Merkmale mit metrischem Messniveau geeignet (die Abstände zwischen den Werten müssen interpretierbar sein)

- hat eine andere Einheit als die Daten, weswegen die Varianz einer direkten Interpretation des Wertes nicht zugänglich ist

Der letzte Kritikpunkt lässt sich leicht durch eine Modifikation beheben: Wenn das Merkmal z.B. das in €  gemessene Einkommen ist, hat die Varianz die kaum interpretierbare Einheit €². Die Wurzel aus der Varianz (die sog. „Standardabweichung“) hat dann wieder dieselbe Einheit wie die Daten: \(s=\sqrt[2]{{s}^2}=\sqrt[2]{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}\)

Quantile

Quantile dienen der genaueren Beschreibung von Lage und Streuung der Daten. Ein Quantil x_p ist definiert als die kleinste Ausprägung x mit der Eigenschaft, dass mindestens p% der Beobachtungen höchstens so groß sind wie x. Quantile lassen sich teilweise sehr einfach aus der Häufigkeitstabelle ablesen. Als Beispiel wird auf die Häufigkeitstabelle aus diesem Kapitel verwiesen.

Ein Quantil x_plässt sich ablesen, in dem man die Spalte der kumulierten relativen Häufigkeiten von oben nach unten durchgeht. Das Quantil entspricht der Merkmalsausprägung in der Zeile, in der die kumulierte relative Häufigkeit erstmalig größer oder gleich p ist. Als Beispiel sollen das 5%-, 25%- und das 75%-Quantil bestimmt werden:

a) x_0,05 = 1: 5% der befragten Kunden sind sehr unzufrieden mit dem Produkt

b) x_0,25 = 3: 25% der Kunden bewerten das Produkt bestenfalls neutral

c) x_0,75 = 4: 75% der Kunden waren mit ihrem Besuch bestenfalls eher zufrieden

In den Fällen a) und c) aus dem Beispiel stimmt der Wert der kumulierten relativen Häufigkeit exakt mit p überein. Im Fall b) wird mit x = 3 die kleinste Ausprägung verwendet, für die die kumulierte relative Häufigkeit größer als p ist. Viele Statistikprogramme „interpolieren“ in dieser Situation und geben einen Wert aus, der – abhängig vom verwendeten Verfahren – zwischen 2 und 3 liegt. Im Beispiel wurde ein kleiner Datensatz verwendet. Quantile sind speziell bei größeren Datensätzen geeignet, um einen Eindruck über die Verteilung der Daten zu vermitteln. So werden z.B. beim Einkommen häufig 1%-, 5%-, 10%-, 25%-, 50%-, 75%-, 90%-, 95%-, 99%- und 99.9%-Quantil angegeben. Die „unteren“ Quantile werden zur Definition einer relativen Armutsschranke genutzt. Im Bezug auf Einkommensdaten werden oft die Lorenzkurve und der Gini-Koeffizient verwendet, um sich ein Bild der Verteilung des Merkmals zu verschaffen. Folgende spezielle Quantile werden in der Praxis häufig verwendet:

• Dezile: x_0,1, x_0,2, . . . , x_0,9

• Quartile: x_0,25, x_0,5, x_0,75 (Viertelung des Datensatzes)

• Median: x_0,5 (Halbierung des Datensatzes)

Der Begriff „Median“ ist in der Praxis sowohl für das 50%-Quantil als auch für den Median im Sinne der Definition aus vorherigem Abschnitt Median gebräuchlich. In kleinen Stichproben können sich die Werte des Quantils und des Lageparameters jedoch durchaus unterscheiden. Mit wachsendem Stichprobenumfang wird ein ggf. existierender Unterschied jedoch immer kleiner und verschwindet asymptotisch komplett (wenn der Stichprobenumfang gegen unendlich geht).

Interquartilsabstand

Ein weiteres Streuungsmaß ist der Interquartilsabstand. Der Interquartilsabstand (kurz: „IQR“ für „interquartile range“) ist der Abstand zwischen dem 25%-Quantil (auch „unteres Quartil“ genannt) und dem 75%-Quantil (auch „oberes Quartil“ genannt): IQR = x_0,75 − x_0,25

Vor-/Nachteile des Interquartilsabstands:

+ anschaulich interpretierbar als die Breite des Bereichs in dem die mittleren 50% der Beobachtungen liegen

+ relativ unempfindlich gegenüber extremen Werten („robust“)

- bei ordinalem oder metrischem Messniveau sinnvoll interpretierbar

- nutzt bei metrischem Messniveau nicht alle verfügbaren Informationen

Der Interquartilsabstand spielt eine wichtige Rolle in der grafischen Auswertung von Daten insbesondere bei den sogenannten Boxplots.

Zusammenhangsmaße

Kovarianz

Neben Lage- und Streuungsparametern einzelner Merkmale sind Maße für den Zusammenhang mehrerer Variablen von Interesse. Um zu überprüfen ob zwischen zwei Variablen x und y ein Zusammenhang besteht, kann als erstes Maß die Kovarianz verwendet werden. Die Kovarianz stellt eine Verallgemeinerung der Varianz dar, da die Varianz eines Merkmals auch als Kovarianz des Merkmals mit sich selbst ausgedrückt werden kann. Auf Grund dieses Zusammenhangs teilt die Kovarianz auch die Eigenschaft der Varianz, dass der berechnete Wert nicht direkt in der Höhe interpretiert werden kann. Ein negativer Wert entspricht einem negativen Zusammenhang (kleine Werte von x gehen mit großen Werten von y einher und andersherum), ein positiver Wert deutet darauf hin, dass große Werte von x mit großen Werten von y einhergehen. 

$$s_{xy}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=\overline{xy} - \bar x \cdot \bar y, \text{wobei } \overline{xy}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_iy_i $$

Es ist wichtig, zu beachten, dass die Kovarianz skalenabhängig ist.

Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson

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Pearson Pearson

Der Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson wird verwendet, um die Stärke eines linearen Zusammenhangs zweier metrisch skalierter Variablen zu quantifizieren. Nur die Kovarianz der Merkmale zu betrachten reicht nicht aus, da diese skalenabhängig ist und somit durch Lineartransformationen beliebig vergrößert oder verkleinert werden kann. Um diese Eigenschaft zu beseitigen, wird die Kovarianz auf die jeweiligen Standardabweichungen der Variablen bezogen.

$$\operatorname{Kor}_e(x,y) := \varrho_e(x,y) := r_{xy} := \frac{ \sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)(y_i-\bar y) }{ \sqrt{ \sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2\cdot \sum_{i=1}^n(y_i-\bar y)^2 }}$$

Die Maßzahl (geschrieben r_x,y ) misst den linearen Zusammenhang zwischen zwei Merkmalen x und y und kann Werte zwischen -1 und +1 annehmen. Bei r_x,y = 1 lässt sich die Beziehung zwischen x und y in der Form y = a + bx mit b > 0 angeben. Bei r_x,y  = −1 gilt analog y = a + bx mit b < 0. Bei r = 0 existiert keine Beziehung der Form y = a + bx zwischen x und y. Dies bedeutet allerdings nur, dass kein linearer Zusammenhang besteht. Ein intuitives Beispiel für einen Korrelationskoeffizienten von Null bei perfekter nichtlinearer Korrelation stellt die Funktion y = f(x) = x² dar. Jeder Wert von y ist durch die Funktion bei gegebenem x-Wert eindeutig bestimmt. Trotzdem spiegelt sich das im Maß des linearen Zusammenhangs nicht wider.

Zur Veranschaulichung des Konzepts wird der ALLBUS-Datensatz herangezogen. Im grafischen Analyseteil dieses Artikels werden Streudiagramme (oder engl. Scatterplot) vorgestellt, welche ebenso wie Korrelationskoeffizienten einen Eindruck des Zusammenhangs zweier Merkmale liefern. Je stärker sich die Punktewolke um eine aufsteigende (absteigende) Gerade gruppiert, desto näher liegt der Wert des Koeffizienten bei +1 (-1). Für die ersten 300 Befragten des Beispieldatensatzes ergibt sich ein Wert des Zusammenhangs von 0,653. Wie erwartet gehen mit kleinen (großen) Werten des Merkmals Größe tendenziell kleine (große) Werte des Merkmals Gewicht einher.

Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman

Sofern die Variablen x und y zumindest ordinales Messniveau haben, lässt sich der Korrelationskoeffizient nach Spearman (auch „Rangkorrelationskoeffizient“ genannt) berechnen.

Im Vergleich zum Korrelationskoeffizienten von Pearson ist der Rangkorrelationskoeffizient wesentlich weniger von einzelnen Ausreißern beeinflusst. Gemessen wird der monotone Zusammenhang zweier Variablen. Der Koeffizient nimmt tendenziell hohe Werte an, wenn mit hohen Werten der einen auch hohe Werte der anderen Variable einhergehen.

Die Berechnung dieses Maßes beruht im Gegensatz Pearsons Maß nicht auf den Werten der Beobachtungen selbst, sondern auf ihren Rängen. Bei dieser Methode erhält jede Ausprägung einen Rang gemäß ihrer Größe zugewiesen, d.h. der kleinste Wert erhält jeweils den Rang eins, der zweitkleinste den Rang zwei usw.

Treten gleiche Werte auf (sogenannte Bindungen), werden mittlere Ränge vergeben. Beispielsweise erhält man für die beobachteten Werte von x folgende Ränge: 

Nach der Rangbestimmung für beide Merkmale kann anhand folgender Formel der Korrelationskoeffizient bestimmt werden:

$$r_s = \frac{\sum_{i}(rg(x_i)-\overline{rg}_x)(rg(y_i)-\overline{rg}_y)} {\sqrt{\sum_{i}(rg(x_i)-\overline{rg}_x) ^2}\sqrt{\sum_{i}(rg(y_i)-\overline{rg}_y)^2}} = \frac { \frac{1}{n} \sum_{i}(rg(x_{i}) rg(y_{i})) - \overline{rg_x rg_y} }{s_{rg_x} s_{rg_y}}$$

$$= \frac {\operatorname{Cov}(rg_{x},rg_{y} )} { s_{rg_x} s_{rg_y} }.$$

Sollten alle x-Werte und y-Werte in sich unterschiedlich sein, d.h. keine Bindungen auftreten, vereinfacht sich die Berechnung  folgendermaßen:

$$r_s = 1 - \frac{6 \sum_{i} d_i^2} { n \cdot (n^2 – 1)},$$

wobei \(d_i\) die jeweilige Differenz zwischen den Rängen von x und y einer Beobachtung angibt.

Grafische Auswertung

In der deskriptiven Statistik ist neben der Beschreibung des Datensatzes mit Hilfe von Häufigkeitstabellen, sowie Lage-/Streuungsparametern, die Visualisierung der Daten bedeutsam. Für die Darstellung der Daten gibt es viele unterschiedliche Möglichkeiten. Im folgenden Abschnitt werden einige Visualisierungsmöglichkeiten vorgestellt und auf den ALLBUS-Datensatz angewendet.

Balken/- Kreisdiagramm

Besonders einfach zu lesen – und aus den Medien hinreichend bekannt – sind Balken und Kreis- bzw. Tortendiagramme. Diese Diagramme lassen sich einfach aus einer Häufigkeitstabelle generieren. Wahlweise können beim Balkendiagramm die absoluten oder die relativen Häufigkeiten abgetragen werden. Beim Tortendiagramm werden allerdings immer die relativen Häufigkeiten dargestellt, da „ein Ganzes“ in seine Anteile unterteilt wird. Die Größe des Winkels lässt sich dabei aus der Multiplikation von 360° mit dem entsprechendem Anteil bestimmen. 

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Grafische Auswertung

In der deskriptiven Statistik ist neben der Beschreibung des Datensatzes mit Hilfe von Häufigkeitstabellen sowie Lage-/Steuungsparametern die Visualisierung der Daten bedeutsam. Für die Darstellung der Daten gibt es viele unterschiedliche Möglichkeiten. Im folgenden Abschnitt werden einige Visualisierungsmöglichkeiten vorgestellt und auf den ALLBUS-Datensatz angewendet.

Balken/- Kreisdiagramm:

Besonders einfach zu lesen – und aus den Medien hinreichend bekannt – sind Balken und Kreis- bzw. Tortendiagramme. Diese Diagramme lassen sich einfach aus einer Häufigkeitstabelle generieren. Wahlweise können beim Balkendiagramm die absoluten oder die relativen Häufigkeiten abgetragen werden. Beim Tortendiagramm werden allerdings immer die relativen Häufigkeiten dargestellt, da „ein Ganzes“ in seine Anteile unterteilt wird. Die Größe des Winkels lässt sich dabei aus der Multiplikation von 360° mit dem entsprechendem Anteil bestimmen. 

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Gruppierte Balkendiagramme eignen sich besonders, wenn es inhaltlich sinnvoll ist, innerhalb eines Merkmals zwischen verschiedenen Subgruppen zu unterscheiden. So wird in dem hier erstellten gruppierten Balkendiagramm die absoluten relativen Häufigkeiten im Bezug auf Berufstätigkeit nach Geschlechtern getrennt dargestellt. Vergleichend mit dem vorherigem Balkendiagramm können hier zusätzlich Schlüsse über das unterschiedliche Verhalten von Männern und Frauen im Bezug auf die Berufstätigkeit gezogen werden.

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Anwendungshinweise

Stabdiagramm

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Anwendungshinweise

Histogramm

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Die Verwendung von unterschiedlichen Klassenbreiten erweist sich als sinnvoll, um Bereiche mit hohen Häufigkeitsdichten besser zu differenzieren. So wurde besipielsweise in ABBILDUNG In beispielsweise in  den Bereichen zwischen 60 und 90 Kilogramm eine Klassenbreite von 5 Kilogramm gewählt um eine bessere Differenzierung in diesem Bereich zu ermöglichen. 

Anwendungshinweise

Boxplot

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boxplot boxplot

Boxplots visualisieren die Quantile des Merkmals. Es wird eine Box gezeichnet, die durch das untere und das obere Quartil begrenzt wird (siehe Interquartilsabstand). In der Box wird die Position des 50%-Quantils durch eine Linie markiert. Von den Enden der Box wird eine Linie zum Minimum und auf der anderen Seite zum Maximum gezogen. Diese Linien werden als „Whisker“ „Whiskers“ („Schnurrhaare“) bezeichnet. Ein Boxplot visualisiert somit in kompakter Form die Position von Minimum, 25%-Quantil, 50%-Quantil (bzw. Median), 75%-Quantil und Maximum. Aufgrund der platzsparenden Form der Darstellung lassen sich mit Hilfe von Boxplots problemlos mehrere Merkmale vergleichen. 

Das hier verwendete Beispiel vergleicht die Verteilung der Größe von männlichen und weiblichen Befragten des ALLBUS-Datensatzes. 

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Anwendungshinweise

Vorsicht

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Streudiagramm

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Streudiagramm

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Streudiagramm

Kontingenztabellen sind geeignet, um den Zusammenhang zwischen zwei diskreten Merkmalen zu untersuchen. Für die Untersuchung von Zusammenhängen zwischen stetigen Merkmalen eignen sich Kontingenztabellen jedoch nicht. Das Streudiagramm ist in diesem Fall die richtige Wahl.

Aus dem vorliegenden Datensatz werden Punkte in ein Koordinatensystem gezeichnet, wobei auf der Abszisse die Größe in Zentimeter und auf der Ordinate das Gewicht in Kilogramm aufgetragen ist. Das so entstandene Streudiagramm gibt den zu erwartenden Zusammenhang zwischen Größe und Gewicht wider. In dem hier gewählten Beispiel wurde dieser Zusammenhang, um die Übersichtlichkeit zu wahren, nur für die ersten 300 Befragten des Datensatzes durchgeführt.