Ursache für die Annahmeverletzung
Die Störgröße hat eine konstante Varianz für alle Beobachtungen: \(Var(\epsilon_i)=\sigma^2 ~ \forall i=1, ..., N\). Heteroskedastizität könnte aus folgenden Gründen entstehen:
- Messfehler
- Unterschiede zwischen Subpopulationen
- Missspezifikation des Modells
Überprüfung der homoskedastischen Störgröße
Die Homoskedastizität der Störgröße könnte mithilfe der Streudiagramme sowie des Streudiagramms der geschätzten Werte gegen die Residuen und des Streudiagramms der geschätzten Werte gegen die standardisierten Residuen überprüft werden. Allerdings werden die Tests wie beispielsweise Breusch-Pagan-Test und Goldfeld-Quandt-Test empfohlen, um die Homoskedastizität genauer zu überprüfen. Wenn die Homoskedastizitätsannahme verletzt ist, sind die KQ-Schätzer noch unverzerrt, aber nicht mehr BLUE. Das heißt, dass die Standardabweichungen falsch sind. Deswegen sind das Konfidenzintervall und die Hypothesentests basierend auf die Standardabweichungen nicht valid.
Breusch-Pagan-Test
Der Breusch-Pagan-Test setzt voraus, dass die Funktion von der Varianz der Störgröße linear ist. Die Störgröße ist nicht beobachtbar, kann aber durch die Residuen ersetzt werden. Das heißt:
\[\hat{\epsilon}^2_i=\alpha_0 + \alpha_1 z_{1, i} + \alpha_2 z_{2, i} + ... + \alpha_S z_{S, i + \upsilon_i}\]
Wenn die Homoskedastizität vorliegt, müssen alle \(\alpha_s\) für \(s=1, ..., S ~ 0\) sein. Daraus ergibt sich die Nullhypothese, \(H_0: \alpha_1 = \alpha_2 = ... = \alpha_S = 0 \) und die Gegenhypothese, \(H_1: \alpha_s \neq 0\) für mindestens ein \(s\).
Teststatistik des Breusch-Pagan-Tests: \(\chi^2=N \cdot R^2 \sim \chi^2_S\), wobei \(R^2\) für das Bestimmtheitsmaß steht.
Die Nullhypothese kann nicht verworfen werden, wenn die Teststatistik kleiner als der kritische Wert ist. Somit ist die Störgröße homoskedastisch.
Durch das Ersetzen von \(\hat{\epsilon_i}\) mit \(log (\hat{\epsilon_i})\) oder \(|\hat{\epsilon_i}|\) kann der Harvey-Test oder Glejser-Test durchgeführt werden, um die Homoskedastizität zu überprüfen.
Breusch-Pagan-Test mit \(\textsf{R}\) |
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Goldfeld-Quandt-Test
Der Goldfeld-Quandt-Test kann durchgeführt werden, um die Homoskedastizität zu überprüfen, wenn die Stichprobe in zwei disjunkte Gruppen geteilt werden kann. Wenn die Störgröße eine konstante Varianz hat, sollen die Varianzen der Störgrößen in zwei Gruppen gleich sein. Die Varianzen der Störgrößen können durch die Varianzen der Residuen ersetzt werden. Daraus folgt die Nullhypothese, \(H_0: \hat{\sigma}^2_{G1}=\hat{\sigma}^2_{G2}\).
Teststatistik des Goldfeld-Quandt-Test: \(F=\frac{ \hat{\sigma}^2_{G1}}{ \hat{\sigma}^2_{G2}}\sim F_{(N_{G1}-K_{G1}, N_{G2}-K_{G2})}\)
wobei \(N_{Gi}\): Anzahl der Beobachtungen in der Gruppe \(i\), \(K_{Gi}\): Anzahl der Regressoren in der Gruppe \(i\).
Die Nullhypothese kann nicht verworfen werden, wenn die Teststatistik kleiner als der kritische Wert ist. Somit ist die Störgröße homoskedastisch.
Goldfeld-Quandt-Test mit \(\textsf{R}\) |
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Korrektur der Annahmeverletzung: Respezifikation des Modells oder Transformation der Variablen
Die Heteroskedastizität könnte wegen der falschen Spezifikation des Modells, wie beispielsweise einer Nicht-Berücksichtigung relevanter Regressoren, Nicht-linearer Beziehung zwischen Regressor und abhängiger Variable etc. auftreten. In diesem Fall muss das Modell richtig spezifiziert werden. Wenn das Modell richtig spezifiziert wird, kann das Problem der Heteroskedastizität behoben werden.
Alternative
Alternative 1: HC (Heteroscedasticity Consistent) Standardabweichung (White-Standardabweichung)
Da die KQ-Schätzer trotz der Annahmeverletzung noch unverzerrt sind, kann man die Schätzer weiter benutzen und für das Konfidenzintervall und die Hypothesentests robuste Standardabweichungen des Schätzers benutzen. White-Schätzer schätzen eine Heteroskedastizität-konsistente Kovarianzmatrix der Parameter.
Alternative 2: Verallgemeinerte Kleinste-Quadrate-Schätzung (englisch GLS: Generalized Least Squares)
GLS setzt voraus, dass sich die Varianz in jeder Beobachtung verändert. Wenn die Varianzfunktion bekannt ist, können die effizienten GLS-Schätzer bestimmt werden.
Beispiel 9: \(Var(\epsilon_i)=\sigma^2 x_i\) (Hill et al. 2012)Ein Regressionsmodell mit einem Regressor wird betrachtet. Die Varianz der Störgröße ist \(Var(\epsilon_i)=\sigma^2 x_i\). Die heteroskedastische Störgröße kann zur homoskedastischen Störgröße transformiert werden. Die beiden Seiten der Regressionsgleichung werden durch \(\sqrt{x_i}\) geteilt: \[\frac{y_i}{\sqrt{x_i}}=\beta_0(\frac{1}{\sqrt{x_i}})+\beta_1(\frac{x_i}{\sqrt{x_i}})+\frac{\epsilon_i}{\sqrt{x_i}}\] Die Gleichung kann so umgeschrieben werden: \[y^{\ast}_i=\beta_0 x^{\ast}_{0, i} + \beta_1 x^{\ast}_{2, i} + \epsilon ^{\ast}_i\] Die Varianz der transformierten Störgröße ist nun konstant. Somit kann die transformierte Gleichung durch die KQ-Schätzung effizient geschätzt werden. |
