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Inhaltsverzeichnis

Ursachen für die Annahmeverletzung

Der wahre Zusammenhang zwischen der abhängigen Variable \(y_{i}\), und den unabhängigen Variablen \(x_{1, i}, x_{2, i}, ..., x_{K-1, i}\),  ist linear. Die Nicht-Linearität könnte aus folgenden Gründen auftreten:

1. Multiplikativer Zusammenhang zwischen der abhängigen Variable und den unabhängigen Variablen
2. Steigender/sinkender Marginaleffekt
3. Sonstiger nicht-linearer Zusammenhang sowie quadratische Form, kubische Form, Inverse, etc.  

Überprüfung der Linearität und Konsequenz der Annahmeverletzung

Im Fall einer einfachen linearen Regression kann die Linearität durch ein Streudiagramm der abhängigen Variable gegen die unabhängige Variable überprüft werden. In einem multiplen linearen Regressionsmodell ist dies schwieriger. Es bietet sich deswegen an, die abhängige Variable gegen alle unabhängigen Variablen einzeln in je einem Streudiagramm darzustellen (Schlittgen 2013). Der Zusammenhang der Variablen, der von dem Streudiagramm angezeigt wird, sollte approximativ linear sein. Die Konsequenz der Annahmeverletzung ist, dass die geschätzten \(\beta\)-Schätzer und Standardabweichungen verzerrt sind.

Korrektur der Annahmeverletzung

Korrektur 1: Transformation des Regressors

• Logarithmische Transformation

  Die logarithmische Transformation ist aus mehreren Gründen nützlich. Erstens, wenn die abhängige Variable und die unabhängigen Variablen mit einer multiplikativen Form zusammemhängen, kann diese Beziehung durch die logarithmische Transformation linearisiert werden. Zweitens, die logarithmische Transformation könnte die Schiefe und Heteroskedastizität in der Verteilung der abhängigen Variable reduzieren (Heij et al. 2004).

  Beispiel 2: \(y_i = \alpha_1 x^{\alpha_2}_i \epsilon_i\) (Heij et al. 2004) Die abhängige Variable \(y_i\) hat einen multiplikativen Zusammenhang mit der unabhängige Variable \(x_i\): \(y_i = \alpha_1 x^{\alpha_2}_i  e^{\epsilon_i}\). In diesem Fall kann die Beziehung durch die logarithmische Transformation linearisiert werden. Wenn die beiden Seiten logarithmiert werden, wird die Gleichung linear:  \(\log y_i = \log{\alpha_1} + \alpha_2 \log{x_i} + \epsilon_i\).

• Power-Transformation

  Wenn die nichtlineare Beziehung zwischen der abhängigen Variable und einer unabhängigen Variable durch eine Transformation der unabhängigen Variable in eine lineare Beziehung umgewandelt wird, kann die Annahmeverletzung korrigiert werden. Durch die Wahl des Exponenten (\(\lambda\)) kann die nicht-lineare Beziehung linearisiert werden. Die folgende Tabelle (Schlittgen 2009) dient als Übersicht über wichtige Werte der Exponenten \(\lambda\):

  \(\lambda\)	Transformierte Werte \(x^{\lambda}\)	Auswahl der Transformation
  3	\(x^3\)	Wenn mit wachsenden \(X\)-Werten die Änderungen der \(Y\)-Werte stärker werden.
  2,5	\(x^{2,5}\)
  2	\(x^{2}\)
  1,5	\(x^{1,5}\)
  1	\(x\)	-
  0,5	\(\sqrt{x}\)	Wenn mit wachsenden \(X\)-Werten die Änderungen der \(Y\)-Werte schwächer werden.
  0	\(\ln{x}\)
  -0,5	\(\frac{1}{\sqrt{x}}\)
  -1	\(\frac{1}{x}\)

  Außerdem ist die Box-Cox-Transformation, als auch die Power-Transformation, auch für die Linearisierung geeignet (Schlittgen 2009).

  Beispiel 3: Korrektur der Nichtlinearität durch die Transformation Die Nettomiete pro Quadratmeter 2003 in München wird mit einer Variable Wohnfläche erklärt. Die abhängige Variable \(y_i\) ist die Nettomiete pro Quadratmeter \(\texttt{nmqm}_i\) und die unabhängige Variable \(x_i\) ist die Wohnfläche \(\texttt{wfl}_i\). Die abhängige Variable, Nettomiete pro Quadratmeter, ist die Nettomiete geteilt durch die Wohnfläche:  \(\texttt{nmqm}_i\) = \(\texttt{Miete}_i\) / \(\texttt{wfl}_i\). Das heißt: die Variable \(\texttt{nmqm}_i\) hat zwar eine nichtlineare Beziehung mit der Variable  \(\texttt{wfl}_i\), aber eine lineare Beziehung mit der Inverse der Variable \(\texttt{wfl}_i, \texttt{wflinvers}_i\). Durch die Transformation der Variable \(\texttt{wfl}_i\), könnte die Annahmeverletzung korrigiert werden.

Korrektur 2: Aufnahme zusätzlicher Potenzen des Regressors

Wenn die abhängige Variable nichtlinear von einer unabhängigen Variable abhängt, so kann durch die Aufnahme zusätzlicher Potenzen von der unabhängigen Variable in das Modell eine zufriedenstellende Erklärung, also ein linearer Zusammenhang, erreicht werden (Schlittgen 2013).

Alternative: Nichtlineare Regression

Wenn keine Möglichkeit besteht, den nicht-linearen Zusammenhang zu linearisieren, kann eine nichtlineare Regression durchgeführt werden (Hübler 2005). Ein nichtlineares Regressionsmodell setzt voraus, dass die Regressoren mit der abhängigen Variable nicht-linear zusammenhängen:

\(y_i \sim f(x_{i, 1}, ..., x_{i, K-1}, \beta_0, ..., \beta_{K-1})\), wobei die Funktion \(f\) nicht-linear für die Komponenten der \(\beta\)-Parameter ist, aber ansonsten die Form der Funktion unbekannt ist. 

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