Varianzanalyse/ANOVA

Die Varianzanalyse oder ANOVA (von analysis of variance) ist ein Verfahren, welches auf Gruppenunterschiede testet. Der Name Varianzanalyse kommt daher, dass versucht wird die Gesamtvarianz der abhängigen, metrischen Variable zu zerlegen. Dabei wird ein (möglichst großer) Teil der Varianz durch die unabhängigen Faktoren erklärt (Varianz zwischen den Gruppen) während die restliche, nicht erklärbare Varianz als Zufallsprozess aufgefasst wird (Varianz innerhalb der Gruppen). In ihrer einfachsten Form, der einfaktoriellen Varianzanalyse, ist sie als Verallgemeinerung des zwei-Stichproben t-Tests auf Mehr-Gruppen-Vergleiche darstellbar. Natürlich könnte man für alle mögliche Gruppenvergleiche auch t-Tests durchführen, jedoch bietet die Varianzanalyse mehrere Vorteile. So kann getestet werden, ob ein Faktor als ganzes einen Erklärungsgehalt besitzt und es existieren effiziente Testverfahren für multiple Vergleiche (siehe Artikel über multiples Testen). Außerdem bietet sie eine etwas effizientere Schätzung, wenn man davon ausgeht, dass die Varianzen in den Gruppen gleich sind (Varianzhomogenität), da so nur ein Varianzparameter geschätzt werden muss.

Einfaktorielle Varianzanalyse

Zunächst wird der einfachste Fall, die einfaktorielle Varianzanalyse, behandelt. Hierbei gibt es eine unabhängige kategoriale Variable oder Faktor mit mindestens 3 Ausprägungen. Daneben existieren eine Vielzahl von Erweiterungen und Generalisierungen, auf welche wir später noch eingehen.

Die allgemeine Formel für eine Stichprobengröße $n$ und Gruppengröße $m$ lautet:

$y_i=\mu_j+\epsilon_i; i=1,..n ; j=1,..,m$

Dabei sind die $\mu_i$ die einzelnen Gruppelmittelwerte und $\epsilon_i$ der Fehlerterm, also die nicht-erklärte Varianz.

Wie bei jeder statistischen Auswertung empfiehlt sich zunächst eine deskriptive Analyse. Man sollte sich zunächst die Mittelwerte und Standardabweichungen in den einzelnen Gruppen ausgeben lassen. Graphisch eignet sich ein Boxplot oder ein Balkendiagramm der Mittelwerte mit Standardfehlern oder Konfidenzintervallen (bzgl. des Mittelwerts).

Annahmen:

Für die Gültigkeit der statistischen Tests wird von 2 zentralen Annahmen ausgegangen:

1. Normalverteilte Residuen: Die Fehlerterme sind normalverteilt, d.h. $\sigma \sim N(0,1)$
2. Varianzhomogenität: Die Fehlertermvarianz $\sigma$ wird über alle Gruppen gleich angenommen

Omnibus-F-Test:

Post-Hoc-Tests:

Kruskal-Wallis-Test als nichtparametrische Alternative:

Erweiterungen

Mehrfaktorielle ANOVA

Multivariate ANOVA (MANOVA)

Mixed effects ANOVA

Analysis of Covariance (ANCOVA)