Ursachen für die Annahmeverletzung
Die Regressoren sind nicht endogen und somit sind die Regressoren mit der Störgröße unkorreliert. Die vier wichtigsten Fälle, in denen ein Regressor mit der Störgröße korreliert, sind (Hill et al. 2012):
- Messfehler in einem Regressor
Wenn ein Regressor \(x_{k, i}\) nur mit einem Fehler gemessen werden kann, können \(x_{k, i}\) und \(\epsilon_{i}\) korreliert sein. - Simultane Kausalität
Wenn mehr als eine Gleichung benötigt wird, um einen Zusammenhang zu beschreiben, sind \(x_{k, i}\) und \(\epsilon_{i}\) korreliert. Ein Beispiel dafür ist Angebot und Nachfrage. - Autokorrelation mit verzögerten endogenen Variablen
- Nichtberücksichtigung der relevanten Variablen
Überprüfung der Unabhängigkeit zwischen Regressor und Störgröße und Konsequenz der Annahmeverletzung
Die Unabhängigkeit zwischen Regressor und Störgröße kann durch ein Streudiagramm einzelner Regressoren gegen die Residuen überprüft werden. Wenn ein klarer Trend im Streudiagramm erkennbar ist, ist die Störgröße vom Regressor abhängig. Wenn die Unabhängigkeitsannahme der Regressoren und Störgröße verletzt ist, sind die KQ-Schätzer verzerrt, inkonsistent und ineffizient. Da die Standardabweichungen nicht korrekt sind, sind die Hypothesentests und das Konfidenzintervall nicht valide.
Beispiel 4: Abhängigkeit zwischen einem Regressor und den ResiduenIn dem unten dargestellten Partial Residual-Plot sind die Residuen einer Regression vom Gehalt von Baseballspielern der Major League auf "Treffer", "Homeruns" und "Jahre in der Liga" gegen den Regressor "Jahre in der Liga" dargestellt (siehe Code am Rand).
Die Residuen sind geringer für niedrige und hohe Werte von "Jahre in der Liga". Das ist ein Hinweis darauf, dass die Annahme der Unabhängigkeit zwischen den Residuen und dem Regressor verletzt ist. |
Korrektur der Annahmeverletzung:
Wenn die Annahmeverletzung wegen der Nichtberücksichtigung relevanter Regressoren aufgetreten ist, kann das Problem durch die Aufnahme der relevanten Regressoren behoben werden. Bevor die Regressoren aufgenommen werden, muss überprüft werden, ob die Variablen wirklich relevant sind.
Bespiel 5: Aufnahme eines weiteren Regressors bei Fehlspezifikation Durch die Aufnahme der quadrierten Jahre in die obige Regression wird der abnehmende marginale Effekt zusätzlicher Jahre mit erfasst. Die Systematik in den Residuen wird dadurch sehr deutlich reduziert.
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Alternative: Die Methode der zweistufigen kleinsten Quadrate (englisch 2SLS: 2 Stage Least Squares)
Die erste Stufe der 2SLS: Eine Regression des endogenen Regressors \(x_{k, i}\) in Abhängigkeit aller exogenen Variablen und Instrumentvariablen. Die Instrumentvariablen sind die Variablen, die stark mit der endogenen Variable \(x_{k, i}\) korrelieren, aber nicht mit \(\epsilon_{i}\) korrelieren. Durch die Regression kann die geschätzte \(x_{k, i}\), also , \(\hat{x}_{k, i}\) bestimmt werden. \(\hat{x}_{k, i}\) ist exogen.
- Die zweite Stufe der 2SLS: Da \(\hat{x}_{k, i}\) exogen ist, kann die endogene Variable \(x_{k, i}\) durch \(\hat{x}_{k, i}\) in der Regression der zweiten Stufe ersetzt werden. Die Regression kann durch die KQ-Schätzung konsistent geschätzt werden.
Code R
UnabhängigkeitResiduenRegressor.R
Code Stata
UnabhängigkeitResiduenRegressor.do
Code SPSS
UnabhängigkeitRegressorResiduen.sps
Code SAS
UnabhängigkeitRegressorResiduen.sas
Daten als CSV-Datei
Instrumentenvariablen
Die Instrumentenvariablen sind die Variablen, die mit dem endogenen Regressor hoch korrelieren, aber nicht mit der abhängigen Variable korrelieren. Ob die Instrumentvariablen signifikant sind, muss mit einem geeigneten Test überprüft werden, wie zum Beispiel dem Sargan-Test.
