Hier sollte eine kurze Zusammenfassung und Einleitung des Abschnittes sein. Diese Seite dient als Vorlage für einen Artikel im Wiki und kann entsprechend angepasst werden.

Inhaltsverzeichnis

Abschnitt 1

Überschriften, die ins Inhaltsverzeichnis aufgenommen werden sollen, müssen die Größen Überschrift 1 (Kapitel) und Überschrift 2 (Unterkapitel) haben. Es können natürlich auch weitere Untergliederungen vorgenommen werden, allerdings tauchen diese nicht im Inhaltsverzeichnis auf. Jedes Kapitel (Überschrift 1) bekommt einen eigenen Bereich.

Formeln

Formeln werden wie Latexcode geschrieben. Für eine gute Einführung siehe Wikibooks.

Eigenständig stehende Formeln werden wie folgt erzeugt.

\[y_{i}= \beta_0 + \beta _{1}x_i+ \epsilon_i,\]

wobei \(\varepsilon_i \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)\) eine Inline-Formel ist.

Ursache für die Annahmeverletzung

Die Annahme verlangt, dass die Residuen nicht miteinander korrelieren, das heißt:  \(cov(\epsilon_i, \epsilon _j)=0\) für alle  \(i \neq j\). Die Annahmeverletzung \(cov(\epsilon_i, \epsilon _j)\neq0\) führt zur nicht diagonalen Kovarianzmatrix: \(cov(\epsilon_i, \epsilon _j)=\sigma^2\Omega\), wobei \(\Omega\) eine nicht-diagonale Matrix ist. Die Annahme ist insbesondere für Zeitreihendaten relevant, da eine zeitliche Systematik in den Residuen vorhanden sein kann.

Bei Querschnittsdaten wird die Unkorreliertheit der Residuen aus der zufälligen Stichprobenziehung hergeleitet. Wenn die gezogenen Beobachtungen zufällig ausgewählt sind, sind auch die unbeobachtbaren Faktoren, die sich in den Residuen niederschlagen, zufällig verteilt und nicht miteinander korreliert.

Korrelation der Residuen kann aus folgenden Gründen auftreten:

1. Nicht-Berücksichtigung relevanter Regressoren
2. Autokorrelation in Zeitreihendaten

Überprüfung der unabhängigen Störgrößen und Konsequenz der Annahmeverletzung

Mithilfe des Box-Pierce und Ljung-Box-Tests können mehrere Autokorrelationskoeffizienten darauf getestet werden, ob sie sich signifikant von null unterscheiden. Die Nullhypothese lautet \(H_0: \rho_1(\epsilon _i)=\rho_2(\epsilon _i)=...=\rho_L(\epsilon i)=0\), die Gegenhypothese \(H_1: \rho_l \neq 0\) gilt für mindestens ein \(l\), wobei \(\rho_l(\epsilon_i)\): der Korrelationskoeffizient der Residuen zum Lag \(l\) und \(L\): die Anzahl der zu testenden Autokorrelationen.

Teststatistik nach Box/Pierce: \(Q_{BP}=N{\Sigma}_{l=1}^K \hat{\rho_l}^2 \sim \chi_L^2\)

Teststatistik nach Ljung/Box: \(Q_{K}=N(N+2){\Sigma}_{l=1}^K \frac{\hat{\rho_l}^2}{T-K} \sim \chi_L^2\) 

wobei \(N\): Stichprobengröße, \(K\): Anzahl der Regressoren, \(\chi_L^2\): Chi-Quadrat-Verteilung mit  \(L\) Freiheitsgraden und \(T\): Anzahl der Beobachtungen.

Wenn die Teststatistik größer als der kritische Wert aus der Chi-Quadrat-Verteilung mit \(L\) Freiheitsgraden ist, kann die \(H_0\) verworfen werden.

Andere Tests, die die Autokorrelation der Störgröße überprüfen, sind z.B.: Breusch-Godfrey-Test und Durbin-Watson-Test (Heij et al. 2004).

Wenn die Annahme der unabhängigen Residuen verletzt ist, sind die KQ-Schätzer noch unverzerrt aber nicht mehr BLUE. Das heißt, die Standardabweichungen der KQ-Schätzer sind nicht korrekt. Somit sind das Konfidenzintervall und die Hypothesentests basierend auf den Standardabweichungen auch nicht korrekt. 

Korrektur der Annahmeverletzung

Die Autokorrelation kann auftreten, wenn eine relevante unabhängige Variable nicht in das Regressionsmodell aufgenommen wird. In diesem Fall wird der Effekt der relevanten Variable in den Residuen beobachtet. Somit können die Residuen korrelieren. Wenn die relevante unabhängige Variable aufgenommen wird, verschwindet die Korrelation der Residuen. (Chatterjee / Hadi 2006) 

Alternative

Alternative 1: HAC (Heteroscedasticity and Autocorrelation Consistent) Standardabweichungen (Newey-West Standardabweichungen)

Da die KQ-Schätzer trotz der Annahmeverletzung noch unverzerrt sind, kann man die Schätzer weiter benutzen und für das Konfidenzintervall und die Hypothesentests robuste Standardabweichungen des Schätzers benutzen. Newey-West Schätzer schätzen eine Heteroskedastizität- und Autokorrelation-konsistente Kovarianzmatrix der Parameter. 

Alternative 2: Verallgemeinerte Kleinste-Quadrate-Schätzung (englisch GLS: Generalized Least Squares): AR (1) (Autoregressiv erster Ordnung)

GLS setzt voraus, dass die Störgröße autoregressiv erster Ordnung ist: \(\epsilon_i=\rho\epsilon_{i-1}+\upsilon_i\) wobei \(|\rho|<1\) und \(\upsilon_i\): unkorrelierte zufällige Störgröße mit \(E(\upsilon_i)=0\) und \(Var(\upsilon_i)=\sigma^2_{\upsilon}\). Das Model mit autoregressiven Störgrößen kann mit \(\rho y_{i-1}= \rho \beta_0 + \rho \beta _{1}x_{1, i-1} + ... + \rho \beta _{K-1}x_{K-1, i-1} + \rho\epsilon_{i-1}\) wie folgt transformiert werden: 

\[y_i - \rho y_{i-1}= \beta_0 (1-\rho) + \beta_{1} (x_{1, i} - x_{1, i-1}) + ... + \beta_{K-1} (x_{K-1, i}x_{K-1, i-1}) +\upsilon_i\].

Die Gleichung kann umgeschrieben werden: 

\[y^{\ast}_i=\beta_0 x^{\ast}_{0, i} + \beta_1 x^{\ast}_{1, i}+...+\upsilon_i\]

Das transformierte Modell hat keine korrelierte Störgröße und die Schätzer können durch die KQ-Schätzung effizient geschätzt werden.

Literatur

Chatterjee, Samprit und Ali S. Hadi 2006. Regression analysis by example. Hoboken: Wiley.

Heij, Christian, de Boer, Paul, Franses, Philip Hans, Teun Kloek und Herman K. van Dijk. 2004. Econometric Methods with Applications in Business and Economics. Oxford: Oxford University Press.

Beispieldaten: R-Package Ecdat: Data Sets for Econometrics, Version 0.3; https://CRAN.R-project.org/package=Ecdat

Hilfe

Es gibt eine Einführung der CeDiS für das Wiki.

Es steht auch das Markup von Confluence zur Verfügung. Siehe z.B. die Hilfe für das Wiki.

Zitieren

Quellenangaben erfolgen mittels eines Superskripts.

 Diese werden mit Hilfeder Makros "Single Cite"

und "Single Cite Short" erstellt. Siehe dazu auch die Hilfe.

Videos

Bildergalerie