Ursache für die Annahmeverletzung
Die Annahme verlangt, dass die Residuen nicht miteinander korrelieren, das heißt: \(cov(\epsilon_i, \epsilon _j)=0\) für alle \(i \neq j\). \(cov(\epsilon_i, \epsilon _j)\neq0\) bedeutet die nicht diagonale Kovarianzmatrix: \(cov(\epsilon_i, \epsilon _j)=\sigma^2\Omega\), wobei \(\Omega\): eine nicht-diagonale Matrix ist. Die Korrelation der Residuen kann aus folgenden Gründen auftreten:
- Nicht-Berücksichtigung relevanter Regressoren
- Autokorrelation in Zeitreihendaten
Überprüfung der unabhängigen Störgrößen und Konsequenz der Annahmeverletzung
Mithilfe des Box-Pierce und Ljung-Box-Tests können mehrere Autokorrelationskoeffizienten darauf getestet werden, ob die Autokorrelationskoeffizienten sich signifikant von null unterscheiden. Die Nullhypothese lautet \(H_0: \rho_1(\epsilon _i)=\rho_2(\epsilon _i)=...=\rho_L(\epsilon i)=0\), die Gegenhypothese \(H_1: \rho_l \neq 0\) gilt für mindestens ein \(l\), wobei \(\rho_l(\epsilon_i)\): der Korrelationskoeffizient der Residuen zum Lag \(l\) und \(L\): die Anzahl der zu testenden Autokorrelationen.
Teststatistik nach Box/Pierce: \(Q_{BP}=N{\Sigma}_{l=1}^K \hat{\rho_l}^2 \sim \chi_L^2\)
Teststatistik nach Ljung/Box: \(Q_{K}=N(N+2){\Sigma}_{l=1}^K \frac{\hat{\rho_l}^2}{T-K} \sim \chi_L^2\)
wobei \(N\): Stichprobengröße und \(K\): Anzahl der Regressoren.
Wenn die Teststatistik größer als der kritische Wert ist, kann \(H_0\) verworfen werden.
Es gibt auch andere Alternative-Tests, die die Autokorrelation der Störgröße überprüfen: Breusch-Godfrey-Test und Durbin-Watson-Test (Heij et al. 2004).
Wenn die Annahme der unabhängigen Residuen verletzt ist, sind die KQ-Schätzer noch unverzerrt aber nicht mehr BLUE. Das heißt, die Standardabweichungen der KQ-Schätzer sind nicht korrekt. Somit sind das Konfidenzintervall und die Hypothesentests basierend auf den Standardabweichungen auch nicht korrekt.
Box-Pierce und Ljung-Box-Test mit \(\textsf{R}\) |
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Da der p-Wert zu gering ist, kann die \(H_0\) verworfen werden. Somit sind die Residuen miteinander abhängig.
Da der p-Wert zu gering ist, kann die \(H_0\) verworfen werden. Somit sind die Residuen miteinander abhängig. |
Korrektur der Annahmeverletzung
Die Autokorrelation kann auftreten, wenn eine relevante unabhängige Variable nicht in das Regressionsmodell aufgenommen wird. In diesem Fall wird der Effekt der relevanten Variable in den Residuen beobachtet. Somit können die Residuen korrelieren. Wenn diese relevante unabhängige Variable aufgenommen wird, verschwindet die Korrelation der Residuen. (Chatterjee / Hadi 2006)
Alternative
Alternative 1: HAC (Heteroscedasticity and Autocorrelation Consistent) Standardabweichungen (Newey-West Standardabweichungen)
Da die KQ-Schätzer trotz der Annahmeverletzung noch unverzerrt sind, kann man die Schätzer weiter benutzen und für das Konfidenzintervall und die Hypothesentests robuste Standardabweichungen des Schätzers benutzen. Newey-West Schätzer schätzen eine Heteroskedastizität- und Autokorrelation-konsistente Kovarianzmatrix der Parameter.
Alternative 2: Verallgemeinerte Kleinste-Quadrate-Schätzung (englisch GLS: Generalized Least Squares): AR (1) (Autoregressiv erster Ordnung)
GLS setzt voraus, dass die Störgröße autoregressiv erster Ordnung ist: \(\epsilon_i=\rho\epsilon_{i-1}+\upsilon_i\) wobei \(|\rho|<1\) und \(\upsilon_i\): unkorrelierte zufällige Störgröße mit \(E(\upsilon_i)=0\) und \(Var(\upsilon_i)=\sigma^2_{\upsilon}\). Das Model mit autoregressiven Störgrößen kann mit \(\rho y_{i-1}= \rho \beta_0 + \rho \beta _{1}x_{1, i-1} + ... + \rho \beta _{K-1}x_{K-1, i-1} + \rho\epsilon_{i-1}\) wie folgt transformiert werden:
\[y_i - \rho y_{i-1}= \beta_0 (1-\rho) + \beta_{1} (x_{1, i} - x_{1, i-1}) + ... + \beta_{K-1} (x_{K-1, i}x_{K-1, i-1}) +\upsilon_i\].
Die Gleichung kann umgeschrieben werden:
\[y^{\ast}_i=\beta_0 x^{\ast}_{0, i} + \beta_1 x^{\ast}_{1, i}+...+\upsilon_i\]
Das transformierte Modell hat keine korrelierte Störgröße und die Schätzer können durch die KQ-Schätzung effizient geschätzt werden.
