In vielen Fragestellungen ist der Zusammenhang zwischen zwei Variablen X und Y oder mehreren Variablen z.B. X1, X2 und Y von Interesse wie z.B.

• steigt der Konsum von Eis mit der Temperatur
• haben Männer ein höheres Einkommen als Frauen oder
• ist das Einkommen höher mit besserer Bildung und mehr Berufserfahrung

Diese Zusammenhänge können anhand von Funktionen beschrieben werden, die unterschiedliche Formen annehmen können. Die einfachste Form ist der lineare Zusammenhang. Dabei erklärt die Variable X oder mehrere Variablen die Eigenschaften der abhängigen Variable Y. Im Folgenden soll darauf eingegangen werden, wie man die Form der Funktion erkennt und wie man im Falle eines linearen Zusammenhangs diesen adäquat beschreiben kann. Dabei werden Lösungswege in den vier Statistikprogrammen R, SAS, SPSS und Stata zur Verfügung gestellt. Die lineare Regression wird hier beispielhaft erläutert werden, sodass für eine theoretischere Einführung auf Kapitel 19 aus dem Buch Einführung in die Statistik: Analyse und Modellierung von Daten von Rainer Schlittgen sowie Wikipedia - Lineare Regression verwiesen wird.

Inhaltsverzeichnis

Variablen und deren Zusammenhang

Auch wenn es plausibel erscheint, dass der Zusammenhang zwischen zwei Variablen linear ist, geht jeder Regression voraus, den Zusammenhang aus den gegebenen Daten zu erkennen. Dafür ist auch das Skalenniveau der Variablen relevant, um eine sinnvolle Abbildung zu bekommen. Bei einer Regression, in der eine Variable X eine Variable Y erklärt, gibt es die Möglichkeiten, dass X metrisch oder kategorial ist ebenso wie Y metrisch oder kategorial sein kann.

Für das erste Beispiel sind sowohl die erklärende Variable X, als auch die abhängige Variable Y metrisch.

Für einen ersten Überblick über die beiden Variablen bieten sich für das entsprechende Skalenniveau passende Maße an. Bei metrischen Variablen können dies z.B. der Mittelwert oder der Median sowie das Minimum und das Maximum sein. In diesem Beispiel liegt das durchschnittliche Körpergewicht bei ca. 78kg und die Körpergröße im Schnitt bei ca. 172cm (siehe Abschnitt 1 in den Beispielcodes).

Zur Überprüfung der Hypothese reichen jedoch keine Informationen über die einzelnen Variablen, sondern es soll ein Zusammenhang zwischen diesen beiden herausgestellt werden. Eine einfache Methode ist die Variablen in einem Streudiagramm darzustellen, in denen jeweils eine Kovariate gegen die abhängige Variable abgebildet wird. Da hier das Körpergewicht mit Hilfe der Körpergröße erklärt werden soll, wird das Körpergewicht auf der Y-Achse und die Körpergröße auf der X-Achse abgebildet (siehe Abschnitt 2.1. in den Beispielcodes). 

                                                                              Streudiagramme

Anhand der Streudiagramme kann man erkennen, dass für den Zusammenhang zwischen Körpergewicht und Körpergröße eine lineare Funktion angenommen werden kann.

Interpretation einer linearen Regression

Im Folgenden werden einzelne Begriffe, die bei der Auswertung einer linearen Regression auftauchen kurz beschrieben. Dies ist eine ungeordnete Ansammlung an Komponenten, die in den Outputs der unterschiedlichen Statistikprogramme vorkommen. Im nächsten Abschnitt wird die Liste angepasst, an den vorliegenden Output je nach Programm. Alle Zahlen, die in Beispielen genutzt werden, sind in den Outputs der verschiedenen Statistikprogramme zu finden.

Komponenten und Begriffe

\(x_i\) : unabhängige Variable

\(y_i\) : abhängige Variable

Formulierung eines linearen Modells: \(y_{i}= \beta_0 + \beta _{1}x_i\)

Bei Gültigkeit dieser strikten Beziehung müssten alle Beobachtungen im Streudiagramm auf einer Geraden mit dem Achsenabschnitt \(\beta_0\) und der Steigung \(\beta_1\) liegen.

Für die Praxis muss das Modell erweitert werden. Der zusätzliche Term \(\epsilon_i\) beschreibt die Abweichung (Fehler) der abhängigen Variable von der Geraden: \(y_{i}= \beta_0 + \beta _{1}x_i + \epsilon_i\)

Die Güte des Modell

1. Gesamtzahl an Beobachtungen:

Die gesamte Anzahl an Beobachtungen im Datensatz entspricht der Anzahl an Zeilen. Diese wird häufig mit n gekennzeichnet. Im Umfragedatensatz gibt es insgesamt 3471 Beobachtungen.

2. Gelöschte Beobachtungen:

Bei fehlenden Werten in Variablen können Beobachtungen für die Modellanalyse nicht berücksichtigt werden. Im Beispiel sind dies 52 Beobachtungen.

3. Zahl der Beobachtungen:

Hiermit ist die Zahl der Beobachtungen gemeint, die zur Anpassung des Modells genutzt wird. Das bedeutet, dass diese Anzahl sich aus der Differenz der Gesamtzahl an Beobachtungen und den gelöschten Beobachtungen auf Grund von fehlenden Werten in den gewünschten Variablen ergibt. In dem Modell wurden 3419 Beobachtungen genutzt.

4. Der empirische F-Wert

Der F-Wert dient zur Überprüfung der Gesamtsignifikanz des Modells. Die F-Statistik gibt den Anteil der erklärten Varianz an der unerklärten Varianz an. Dabei sind die Freiheitsgrade (siehe Anova-Block) zu berücksichtigen, die sich aus der Anzahl der Beobachtungen und der Parameter berechnet. Hier ist jedoch zu beachten, dass mit n die Zahl der Beobachtungen und mit p die Zahl der Einflußvariablen (Parameter) gemeint ist, die im Modell genutzt werden.

$$F = \frac{MS(R)}{MS(F)} = \frac{\frac{SS(R)}{p}}{\frac{SS(F)}{(n −p −1)}}  = \frac{\frac{SS(R)}{SS(G)}/p}{\frac{SS(F)}{SS(G)}/(n −p −1)} = \frac{\frac{R^{2}}{p}}{\frac{1-R^{2}}{(n −p −1)}}  = \frac{R^{2}}{1-R^{2}} \frac{(n −p −1)}{p} $$

5. p-Wert zur F-Statistik:

Die Nullhypothese des F-Tests besagt, dass alle Koeffizienten gleich 0 sind. Hingegen ist die Alternative, dass mindestens ein Koeffizient ungleich 0 ist – es also mindestens eine Kovariate im Modell gibt, die signifikanten Einfluss auf die abhängige Variable ausübt. Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn der p-Wert kleiner als ein gewähltes Signifikanzniveau ist.

6. Empirisches Bestimmtheitsmaß R²

Das R²  basiert auf dem Varianzzerlegungssatz, der besagt, dass sich die Varianz der abhängigen Variablen als die Summe eines Varianzteils, der durch das Regressionsmodell erklärt wird und der Varianz der Residuen (nicht erklärte Varianz) schreiben lässt. Das Bestimmtheitsmaß ist der Quotient aus erklärter Varianz und Gesamtvarianz. Als Anteilswert kann das R² Werte zwischen 0 und 1 annehmen.

\( R^{2} = \frac{SS(R)}{SS(G)} =  \frac{\sum_{i=1}^{n} (\hat{y}_{i} - \bar{y})^{2}}{\sum_{i=1}^{n} (y - \bar{y})^{2}} = 1 - \frac{\sum_{i=1}^{n} (y_{i} - \hat{y})^{2}}{\sum_{i=1}^{n} (y - \bar{y})^{2}}\) 

7. Korrigiertes R²

Durch das Hinzufügen einer neuen Kovariaten in das Regressionsmodell kann sich das R²  nie verschlechtern. Um das inflationäre Ergänzen von nutzlosen Variablen zu sanktionieren, gibt es das sog. „korrigierte R² “. Dies zieht für jede Kovariate im Modell einen „Strafterm“ ab und wächst somit nur an, wenn Kovariaten ergänzt werden, die das Modell deutlich verbessern.

$$R^{2} =  1 - \frac{\frac{1}{n-p-1} \sum_{i=1}^{n} (y_{i} - \hat{y})^{2}}{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (y - \bar{y})^{2}}$$

8. Standardfehler des Schätzers:

Dieser entspricht der Wurzel der mittleren Abweichungsquadrate des Modells aus dem Anova-Block und beschreibt die Standardabweichung der Beobachtungen von den Prognosewerten:

\(\sqrt{MS(F)}\)

Schätzergebnisse

9. Abhängige oder endogene Variable:

Im Beispiel ist das Körpergewicht (GEW) die abhänige Variable.

10. Erklärende oder exogene Variable:

Im Beispiel ist die Körpergröße (GRO) die erklärende Variable.

11. Geschätzte Parameter:

Bei einer linearen Einfachregression gibt es zwei geschätzte Parameter \( \beta_0\) für den Achsenabschnitt und \( \beta_1\) für die Steigung. Der Parameter \( \beta_0\) gibt den geschätzten Wert der abhängigen Variablen an, wenn alle Kovariaten gleich 0 sind und schneidet im Graph die y-Achse. Der Steigungsparameter gibt an, wie stark die erklärende Variable (Körpergewicht) die abhängige Variable (Körpergröße) beeinflusst.

12. Standardabweichung der Schätzung (Standardfehler, \(\hat{SF_{\beta_j}}\)):

Da die Parameter basierend auf einer Zufallsstichprobe geschätzt werden, unterliegen diese Schätzungen einer gewissen Ungenauigkeit, die durch die Standardabweichung der Schätzung quantifiziert wird. Standardfehler werden genutzt, um statistische Signifikanz zu überprüfen und um Konfidenzintervalle zu bilden.

13. T-Statistik (empirischer T-Wert).

Mit Hilfe eines t-Tests lässt sich prüfen, ob die Nullhypothese, dass ein Koeffizient gleich 0 ist, abgelehnt werden kann. Wenn dies nicht der Fall sein sollte, ist davon auszugehen, dass die zugehörige Kovariate keinen signifikaten Einfluss auf die abhängige Variable ausübt, d.h. die erklärende Variable ist nicht sinnvoll, um die Eigenschaften der abhängigen Variablen zu erklären.

Hypothese:  \(H: \beta_p=0\) gegen \(A: \beta_p \neq 0\) mit \(p=0,1\)

Teststatistik: \(T_p = \frac{\hat{\beta_p}-0}{\hat{SF_{\beta_p}}}\) mit \(p=0,1\)

Verteilung unter H: \(T_p \sim t_{n-(p+1)}\) mit \(p=0,1\)

Testentscheidung (H ablehnen wenn): \(|T_p| > t_{n-(p+1), 1-\frac{\alpha}{2}}\) mit with \(p=0,1\)

14. p-Wert zur T-Statistik:

Zusätzlich zur T-Statisik wird meistens ein p-Wert ausgegeben. Der p-Wert gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die Nullhypothese \(\beta_p=0\) zutrifft.

15. 95%-Konfidenzintervall:

Konfidenzintervalle sind im Allgemeinen eine Möglichkeit, die Genauigkeit der Schätzung zu überprüfen. Ein 95%-Konfidenzintervall ist der Bereich, der im Durchschnitt in 95 von 100 Fällen den tatsächlichen Wert des Parameters einschließt.

Anova-Block

16. Modell-Quadratsumme/Regressions-Quadratsumme (SS(R)):

Mit SS(R) wird die Varianz der abhängigen Variablen angegeben, die durch das Modell bzw. durch die Regression erklärt werden kann. $$\sum_{i=1}^{n} (\hat{y}_{i} - \bar{y})^{2}$$ 

17. Residuen-Quadratsumme (SS(F)):

Die Varianz, die nicht durch das Modell bzw. die Regression erklärt werden kann, wird mit SS(F) beschrieben. $$\sum_{i=1}^{n} (y_{i} - \hat{y}_{i} )^{2}$$ 

18. Gesamtstreuung (Gesamt-Quadratsumme):

Die Varianz der abhängigen Variable lässt sich als Summe der durch das Modell erklärten Varianz und der unerklärten Varianz darstellen: erklärte Abweichung + unerklärte Abweichung (SS(G)= SS(R) + SS(F)).

19. Freiheitsgrade (FG):

Freiheitsgrade gesamt: n - 1

Freiheitsgrade der Regression: 1

Freiheitsgrade der Residuen: FG_Gesamt - 1

20. Mittlere Abweichungsquadrate:

Mittlere Abweichungsquadrate sind die Quotienten aus Quadratsumme und Freiheitsgraden.

Mittleres Abweichungsquadrat der Regression: MS(R) = SS(R)/DF(R)

Mittleres Abweichungsquadrat der Residuen: MS(F) = SS(F)/DF(F)

Mittleres Abweichungsquadrat gesamt: MS(G) = SS(G)/DF(G)

Outputs in den verschiedenen Statistikprogrammen

Die Outputs einer linearen Regression unterscheiden sich teils in den verschiedenen Statistikprogrammen. Sowohl sind die Werte unterschiedlich angeordet, als auch werden teils nicht die gleichen Werte ausgegeben. 

Im Folgenden werden die Werte 1-20, wenn vorhanden, an den Output der verschiedenen Statistikprogramme geschrieben, damit die Werte im Output gefunden werden können.

Output in R

Output in Stata

Output in SPSS

Output in SAS

Modellannahmen und deren Überprüfung

Eine lineare Regression unterliegt unterschiedlichen Annahmen. Diese betreffen vor allem die Fehlerterme, auch Residuen genannt. Im Folgenden werden die Annahmen genannt und Wege aufgeführt, wie diese überprüft werden können. Die Wahl eines passenden Modells wird im Artikel Modellselektion diskutiert.

Annahmen der linearen Regression

• Der Zusammenhang zwischen der abhängigen Variablen und den metrischen unabhängigen Variablen ist linear.
• \(\epsilon_{1},\ldots ,\epsilon_{n}\) sind unabhängig: wird im Normalfall mit der Stichprobenziehung begründet
• \(\epsilon_{i}\) und \(x_{i}\) sind unkorreliert: nicht ohne Weiteres überprüfbar. Inhaltlich bedeutet diese Annahme: "Es können alle relevanten Variablen beobachtet werden und sind im Modell enthalten!"
• \(\epsilon_{1},\ldots ,\epsilon_{n}\) sind normalverteilte Zufallsvariablen mit:

                   \(E(\epsilon_{i}) = 0\)

                   \(V(\epsilon_{i}) = \sigma ^{2}\)
  
  Für die Schätzung ist keine Verteilungsannahme für die Residuen erforderlich. Die Normalverteilung wird jedoch häufig vorausgesetzt, damit Standard-Tests, wie z.B. t- und F-Tests, durchgeführt werden können.

• Die Varianzen der Störgröße sind konstant (Homoskedastizität). Die Annahme ist verletzt, wenn die Varianz z.B. mit steigender

Einen ausführlicheren Überblick von Annahmen und deren Konsequenzen bietet eine Zusammenfassung der TU Dresden.

Überprüfung dieser Annahmen

Die Gültigkeit dieser Annahmen sollte geprüft werden. Ob die metrischen Kovariaten tatsächlich einen linearen Einfluss auf die abhängige Variable haben, lässt sich mit Hilfe von Streudiagrammen herausfinden (siehe Streudiagramme), in denen jeweils eine Kovariate gegen die abhängige Variable geplottet wird. Die Normalverteilungsannahme der geschätzten Residuen lässt sich unter anderem mit Hilfe eines Quantil-Quantil (Q-Q) Plot überprüfen.

Interaktive Minianwendung

In diesem kleinen Applet kann man sich die Regressiongerade, geschätzte Residuen, quadrierte geschätzte Residuen, den Korrelationskoeffizienten und das Bestimmheitsmaß anzeigen lassen.

Ergänzen Sie ein Wert von x = 22 und y = 78. Was passiert mit der Modellgüte und der Parameterschätzung?